IMOSL 2003

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABCD$ een cyclische vierhoek en $P,Q,R$ de voetpunten van de loodrechten uit $D$ op de rechten $BC,CA,AB$ respectievelijk. Toon aan dat $PQ=QR$ als en slechts als de bissectrices van $\angle ABC$ en $\angle ADC$ concurrent zijn met $AC$.

Vraag 2 Opgelost!

Drie verschillende punten $A,B,C$ liggen vast op een rechte in die volgorde. Zij $\Gamma$ een cirkel door $A$ en $C$ waarvan het midden niet op de rechte $AC$ ligt. Stel $P$ gelijk aan het snijpunt van de raaklijnen van $\Gamma$ in $A$ en $C$. Stel dat $\Gamma$ het lijnstuk $PB$ snijdt in $Q$. Bewijs dat het snijpunt van de bissectrice van $\angle AQC$ en de rechte $AC$ niet afhangt van de keuze van $\Gamma$.

Vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek en $P$ een inwendig punt van de driehoek. Stel $D,E,F$ gelijk aan de voetpunten van de loodrechten uit $P$ op $BC,CA,AB$ respectievelijk. Veronderstel dat $$AP^2+PD^2=BP^2+PE^2=CP^2+PF^2.$$ Verder, stel $I_a,I_b,I_c$ de middens van de buitencirkels aan $\triangle ABC$. Toon aan dat $P$ het midden van de omgeschreven cirkel van $\triangle I_aI_bI_c$ is.

Vraag 4

Zij $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3,\Gamma_4$ vier verschillende cirkels zodat $\Gamma_1$ en $\Gamma_3$ uitwendig raken in $P$ en $\Gamma_2$ en $\Gamma_4$ uitwendig raken in hetzelfde punt $P$. Stel dat $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$;$\Gamma_2$ en $\Gamma_3$;$\Gamma_3$ en $\Gamma_4$;$\Gamma_4$ en $\Gamma_1$ snijden in $A,B,C,D$ respectievelijk en dat al deze punten verschillend zijn van $P$. Bewijs dat $$\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{PB^2}{PD^2}.$$

Vraag 5

Zij $ABC$ een gelijkbenige driehoek met $AC=BC$, en midden van ingeschreven cirkel $I$. Zij $P$ een punt op de omgeschreven cirkel van $\triangle AIB$ dat binnen $\triangle ABC$ ligt. De rechten door $P$ parallel aan $CA$ en $CB$ snijden $AB$ in $D$ en $E$ respectievelijk. De rechte door $P$ parallel aan $AB$ snijdt $CA$ en $CB$ in $F$ en $G$ respectievelijk. Bewijs dat de rechten $DF$ en $EG$ elkaar snijden op de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$.

Vraag 6

Ieder paar overstaande zijden van een convexe zeshoek heeft de volgende eigenschap: de afstand tussen hun middens is gelijk aan $\frac{\sqrt3}2$ keer de som van hun lengtes. Toon aan dat alle hoeken van de zeshoek gelijk zijn.

Vraag 7

Zij $ABC$ een driehoek met halve omtrek $s$ en straal van de ingeschreven cirkel $r$. De halve cirkels met diameters $BC,CA,AB$ worden aan de buitenkant van $\triangle ABC$ getekend. De cirkel die raakt aan alle drie de halve cirkels heeft straal $t$. Bewijs dat $$\frac s2

Vraag 8

Zij $m$ een natuurlijk getal groter dan 1. De rij $x_0,x_1,x_2,\ldots$ wordt gedefinieerd als $$\\x_i=2^i,\ \forall\ 0\leq i\leq m-1\\ x_i=\sum_{j=1}^mx_{i-j},\ \forall\ i\geq m.$$ Vind de grootste $k$ waarvoor de rij $k$ termen bevat die deelbaar zijn door $m$.

Vraag 9 Opgelost!

Ieder natuurlijk getal $a$ wordt onderworpen aan volgende procedure, met als uitkomst $d=d(a)$:
(a) Het laatste cijfer van $a$ wordt naar de eerste positie gebracht en het resultaat wordt $b$ genoemd;
(b) Het getal $b$ wordt gekwadrateerd en het resultaat noemen we $c$;
(c) Het eerste cijfer van $c$ wordt naar de laatste positie gebracht en het resultaat wordt $d$ genoemd.
Alle cijfers worden in het decimale stelsel beschouwd, een voorbeeld is $a=2003$ resulteert in $b=3200,c=10240000,d=02400001=2400001=d(2003)$. Vind alle gehele getallen zodat $d(a)=a^2$.

Vraag 10

Bepaal alle koppels natuurlijke getallen $(a,b)$ zodat $$\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$$ een natuurlijk getal is.

Vraag 11

Zij $b$ een natuurlijk getal groter dan 5. Voor ieder natuurlijk getal $n$, beschouw het getal $$x_n=\underbrace{11\ldots1}_{n-1}\underbrace{22\ldots2}_n5,$$ geschreven in basis $b$. Bewijs dat de volgende eigenschap geldt, als en slechts als $b=10$: er bestaat een natuurlijk getal $M$ zodat voor elk natuurlijk getal $n>M$ het getal $x_n$ een volkomen kwadraat is.

Vraag 12

Een geheel getal $n$ wordt goed genoemd als $|n|$ geen volkomen kwadraat is. Bepaal alle gehele getallen $m$ met de volgende eigenschap: $m$ kan op oneindig veel manieren voorgesteld worden als een som van drie verschillende goede gehele getallen waarvan het product een oneven volkomen kwadraat is.

Vraag 13

Zij $p$ een priemgetal. Bewijs dat er een priemgetal $q$ bestaat zodat voor ieder natuurlijk getal $n$ geldt dat $n^p-p$ niet deelbaar is door $q$.

Vraag 14

De rij $a_0,a_1,a_2,\ldots$ wordt gedefinieerd als $a_0=2,\ a_{k+1}=2a_k^2-1$ met $k\geq0$. Bewijs dat als een oneven priemgetal $p|a_n$, dat dan $2^{n+3}|p^2-1$.

Vraag 15

Zij $p$ een priemgetal en $A$ een verzameling van natuurlijke getallen die voldoet aan de volgende eigenschappen:
(a) De verzameling van priemdelers van de elementen van $A$ bestaat uit $p-1$ elementen;
(b) Voor iedere niet-lege deelverzameling van $A$ is het product van zijn elementen geen volkomen $p$-de macht.
Wat is het maximum aantal elementen in $A$?

Vraag 16

Zij $a_{ij},\ (i,j=1,2,3)$ reële getallen zodat $a_{ij}>0\ \forall\ i=j$ en $a_{ij}<0\ \forall\ i\neq j$. Bewijs het bestaan van positieve reële getallen $c_1,c_2,c_3$ zodat de getallen $$a_{11}c_1+a_{12}c_2+a_{13}c_3,$$ $$a_{21}c_1+a_{22}c_2+a_{23}c_3,$$ $$a_{31}c_1+a_{32}c_2+a_{33}c_3$$ alledrie ofwel negatief, ofwel positief, ofwel nul zijn.

Vraag 17

Vind alle (al dan niet strikt) stijgende functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat
(i) $f(0)=0,\ f(1)=1$;
(ii) $f(a)+f(b)=f(a)f(b)+f(a+b-ab)$ voor alle $a,b\in\mathbb R$ zodat $a<1

Vraag 18

Beschouw twee monotoon dalende rijen $(a_k)$ en $(b_k)$, waar $k\geq1$, en $a_k$ en $b_k$ positieve reële getallen zijn voor iedere $k$. Definieer nu de rijen $$c_k=\min(a_k,b_k),$$ $$A_k=a_1+a_2+\cdots+a_k;$$ $$B_k=b_1+b_2+\cdots+b_k;$$ $$C_k=c_1+c_2+\cdots+c_k$$ voor alle natuurlijke $k$.
(a) Bestaan er twee monotoon dalende rijen $(a_k)$ en $(b_k)$ van positieve reële getallen zodat de rijen $(A_k)$ en $(B_k)$ niet begrensd zijn, maar $(C_k)$ wel begrensd is?
(b) Verandert het antwoord van (a) als we stellen dat de rij $(b_k)$ moet gelijk zijn aan $\displaystyle{b_k=\frac1k}$ voor alle natuurlijke $k$?

Vraag 19

Zij $n$ een natuurlijk getal en $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ reële getallen. Bewijs dat
$$\left(\sum_{i,j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\leq\frac{2(n^2-1)}3 \sum_{i,j=1}^n(x_i-x_j)^2.$$
Toon ook aan dat gelijkheid optreedt als en slechts als $x_1,\ldots,x_n$ een rekenkundige rij is.

Vraag 20

Vind alle functies $f\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R^+$ die voldoen aan de volgende twee voorwaarden:
(i) $f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(\sqrt{xy})f(\sqrt{yz})f(\sqrt{zx})$ voor alle $x,y,z\in\mathbb R^+$;
(ii) $f(x)

Vraag 21

Zij $n$ een natuurlijk getal en $(x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)$ twee rijen van reële getallen. Stel dat $(z_1,\ldots,z_{2n})$ een rij van positieve reële getallen zodat $z_{i+j}^2\geq x_iy_j$ voor alle $1\leq i,j\leq n$. Als $M=\max(z_2,\ldots,z_{2n})$, bewijs dan dat
$$\left(\frac{M+z_2+\cdots+z_{2n}}{2n}\right)^2\geq\left(\frac{x_1 +\cdots+x_n}n\right)\left(\frac{y_1+\cdots+y_n}n\right).$$

Vraag 22

Zij $A$ een deelverzameling van 101 elementen van $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$. Bewijs dat er getallen $t_1,t_2,\ldots,t_{100}\in S$ bestaan zodat de verzamelingen
$$A_j=\{x+t_j|x\in A\},\ \ j=1,2,\ldots,100$$
disjunct zijn.

Vraag 23

Zij $D_1,D_2,\ldots,D_n$ gesloten schijven in het vlak (een gesloten schijf is de rand van een cirkel samen met zijn binnenkant). Veronderstel dat ieder punt in het vlak bevat is in maximum 2003 schijven $D_i$. Bewijs dat er een schijf $D_k$ bestaat die maximum $7\cdot2003-1=14020$ andere schijven $D_i$ snijdt.

Vraag 24

Zij $n\geq5$ een natuurlijk getal. Vind het grootste natuurlijk getal $k$ zodat er een veelhoek bestaat met $n$ hoekpunten (convex of niet, maar niet zelf-snijdend!) die $k$ interne $90^\circ$ hoeken heeft.

Vraag 25

Gegeven $n$ reële getallen $x_1,x_2,\ldots,x_n$ en verder $n$ reële getallen $y_1,y_2,\ldots,y_n$. De elementen $a_{ij}$ (met $1\leq i,j\leq n$) van een $n\times n$ matrix worden als volgt gedefinieerd: $a_{ij}=1$ als $x_i+y_i\geq0$ en $a_{ij}=0$ als $x_i+y_i<0$. Verder, zij $B$ een matrix met elementen uit de verzameling $\{0,1\}$ die voldoet aan de volgende eigenschap: de som van alle elementen van iedere rij van $B$ is gelijk aan de som van iedere corresponderende rij van $A$; de som van alle elementen van iedere kolom van $B$ is gelijk aan de som van iedere corresponderende kolom van $A$. Toon aan dat $A=B$.

Vraag 26

Beschouw een vlak met Carthesiaans coördinatenstelsel. Voor ieder punt met gehele coördinaten, teken een schijf rond dit punt (met dat punt als midden dus) en straal 1/1000.
(i) Bewijs dat er een gelijkzijdige driehoek bestaat met zijn drie hoekpunten in het inwendige van verschillende schijven.
(ii) Toon aan dat iedere gelijkzijdige driehoek met zijn drie hoekpunten in het inwendige van verschillende schijven een zijde heeft met lengte meer dan 96.

Vraag 27

Zij $f(k)$ het aantal natuurlijke getallen $n$ die voldoen aan de volgende eigenschappen:
(i) Het getal $n$ heeft precies $k$ cijfers in de decimale voorstelling (waar het eerste cijfer niet noodzakelijk verschillend van 0 is!), dus $0\leq n<10^k$;
(ii) Deze $k$ cijfers van $n$ kunnen zodanig gepermuteerd worden dat het resulterende getal deelbaar is door 11.
Toon aan dat we voor ieder natuurlijk getal $m$ hebben dat $f(2m)=10f(2m-1)$.