getaltheorie 2

Stel dat $9$ het laatste cijfer is van $a$. Dan eindigt $a^2$ op een $1$, maar het kwadraat van een getal dat met een $9$ begint zal altijd beginnen met een $8$ of een $9$ . Dus kan het eerste cijfer van $c$ (zie opgave) nooit een $1$ zijn waardoor het laatste cijfer van $d$ (zie opgave) nooit een $1$ kan zijn, waardoor $a$ niet kan eindigen met een $9$.
Contradictie.

Doe dit ook zo voor $8,7,6,5$ en $4$ en merk op dat als het laatste cijfer van $a$ gelijk is aan $0$, dat dan $d(a)$ kleiner is dan $a^2$.We zien dat het laatste cijfer van $a$ gelijk moet zijn aan $1,2$ of $3$.

1.
Het laatste cijfer van $a$ is gelijk aan $1$:
stel $a=10x+1$ dan
$b=10^n+x$ (waarbij $n$ de lengte is van $x$)
$c=100^n+2x10^n+x^2$
$d=2x10^{n+1}+10x^2+1$.
Merk op dat $x$ kleiner moet zijn dan $\frac{10^n}{2}$ omdat het eerste cijfer van $c$ anders groter wordt dan $1$ waardoor de vraag niet meer klopt.

Dus $d=2x10^{n+1}+10x^2+1=100x^2+20x+1=a^2$

zodat $ 9x^2=(2\cdot 10^n-2)x$

en dus $x=0$ of $x=\frac{2\cdot 10^n-2}{9}=22...2$ waarbij er $n$ keer een $2$ staat.

Onze eerste oplossing:$22...21$ waarbij het aantal tweeën van $0$ tot oneindig gaat.

2.
Het laatste cijfer van $a$ is gelijk aan $2$:
stel $a=10x+2$ dan
$b=10^n\cdot 2+x$ (waarbij $n$ de lengte is van $x$)
$c=100^n\cdot 4+4x10^n+x^2$
$d=4x10^{n+1}+10x^2+4$.
Merk op dat $x$ kleiner moet zijn dan $\frac{10^n}{4}$ omdat het eerste cijfer van $c$ anders groter wordt dan $4$ waardoor de vraag niet meer klopt.

Dus $d=4x10^{n+1}+10x^2+4=100x^2+40x+4=a^2$

zodat $ 9x^2=(4\cdot 10^n-4)x$

en dus $x=0$ of $x=\frac{4\cdot 10^n-4}{9}=44...4$ waarbij er $n$ keer een $4$ staat. Deze voldoet echter niet aan onze voorwaarde dat $x<\frac{10^n}{4}$ dus is de enige oplossing $x=0$ zodat $a=2$.

3.
Het laatste cijfer van $a$ is gelijk aan $3$:
stel $a=10x+3$ dan
$b=10^n\cdot 3+x$ (waarbij $n$ de lengte is van $x$)
$c=100^n\cdot 9+6x10^n+x^2$
$d=6x10^{n+1}+10x^2+9$.
Merk op dat $x$ kleiner moet zijn dan $\frac{10^n}{6}$ omdat het eerste cijfer van $c$ anders kleiner wordt dan $9$ waardoor de vraag niet meer klopt.

Dus $d=6x10^{n+1}+10x^2+9=100x^2+60x+9=a^2$

zodat $ 9x^2=(6\cdot 10^n-6)x$

en dus $x=0$ of $x=\frac{6\cdot 10^n-6}{9}=66...6$ waarbij er $n$ keer een $6$ staat. Deze voldoet echter niet aan onze voorwaarde dat $x<\frac{10^n}{6}$ dus is de enige oplossing $x=0$ zodat $a=3$.

De oplossingen:$\{22...21,2,3\}$.