Home › Archief › Internationale Olympiades › IMOSL › 2003 › meetkunde 2

meetkunde 2

Tags:

Opgave - IMOSL 2003 vraag 2

Drie verschillende punten $A,B,C$ liggen vast op een rechte in die volgorde. Zij $\Gamma$ een cirkel door $A$ en $C$ waarvan het midden niet op de rechte $AC$ ligt. Stel $P$ gelijk aan het snijpunt van de raaklijnen van $\Gamma$ in $A$ en $C$. Stel dat $\Gamma$ het lijnstuk $PB$ snijdt in $Q$. Bewijs dat het snijpunt van de bissectrice van $\angle AQC$ en de rechte $AC$ niet afhangt van de keuze van $\Gamma$.

Oplossing

Ingediend door arne

De rechte $PB$ is een symmediaan in $\triangle AQC$ (bekende eigenschap). Zij $S$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle AQC$, dan geldt dus, volgens een andere bekende eigenschap van symmedianen, $\frac{AS}{SC} = \frac{AQ}{QC} = \sqrt{\frac{AB}{BC}}$, en bijgevolg is $S$ een vast punt.