Home › Archief › Internationale Olympiades › IMOSL › 2003 › algebra 3

algebra 3

Tags:

Opgave - IMOSL 2003 vraag 18

Beschouw twee monotoon dalende rijen $(a_k)$ en $(b_k)$, waar $k\geq1$, en $a_k$ en $b_k$ positieve reële getallen zijn voor iedere $k$. Definieer nu de rijen

$$c_k=\min(a_k,b_k),$$
$$A_k=a_1+a_2+\cdots+a_k;$$
$$B_k=b_1+b_2+\cdots+b_k;$$
$$C_k=c_1+c_2+\cdots+c_k$$

voor alle natuurlijke $k$.
(a) Bestaan er twee monotoon dalende rijen $(a_k)$ en $(b_k)$ van positieve reële getallen zodat de rijen $(A_k)$ en $(B_k)$ niet begrensd zijn, maar $(C_k)$ wel begrensd is?
(b) Verandert het antwoord van (a) als we stellen dat de rij $(b_k)$ moet gelijk zijn aan $\displaystyle{b_k=\frac1k}$ voor alle natuurlijke $k$?