Home › Archief › Internationale Olympiades › IMOSL › 2003 › meetkunde 1

meetkunde 1

Tags:

Opgave - IMOSL 2003 vraag 1

Zij $ABCD$ een cyclische vierhoek en $P,Q,R$ de voetpunten van de loodrechten uit $D$ op de rechten $BC,CA,AB$ respectievelijk. Toon aan dat $PQ=QR$ als en slechts als de bissectrices van $\angle ABC$ en $\angle ADC$ concurrent zijn met $AC$.

Oplossing

Ingediend door Jan

De bissectrices zijn concurrent $\iff \frac{\sin{BAC}}{\sin{ACB}}=\frac{\sin{DAC}}{\sin{DCA}}$.
$\iff \frac{\sin{RDQ}}{\sin{QDP}} = \frac{\sin{DRQ}}{\sin{DPQ}}$
$\iff \frac{QR}{DQ}=\frac{QP}{DQ}$
$\iff QR = DQ$

Merk op dat $P,Q$ en $R$ collineair zijn, ze liggen op de Simpson-lijn.