IMOSL 2002

Vraag 1

Zij $B$ een punt op de cirkel $S_1$ en zij $A$ een punt verschillend van $B$ op de raaklijn aan $S_1$ in $B$. Zij $C$ een punt niet op $S_1$ zodat het lijnstuk $AC$ de cirkel $S_1$ snijdt in twee verschillende punten. Zij $S_2$ de cirkel die $AC$ raakt in $C$ en $S_1$ raakt in een punt $D$ aan de tegenovergestelde zijde van $AC$ als $B$. Bewijs dat het midden van de omgeschreven cirkel van de driehoek $BCD$ op de omgeschreven cirkel van $ABC$ ligt.

Vraag 2

Zij $ABC$ een driehoek waarvoor er een inwendig punt $F$ bestaat zodat $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA$. Laat de rechten $BF$ en $CF$ de zijden $AC$ en $AB$ snijden in $D$ en $E$ respectievelijk. Bewijs dat
$$AB+AC\geq4DE.$$

Vraag 3

De cirkel $S$ heeft als midden $O$ en als diameter $BC$. Zij $A$ een punt op $S$ zodat $\angle AOB<120^\circ$. Zij $D$ het midden van de boog $AB$ die $C$ niet bevat. De rechte door $O$ parallel met $DA$ snijdt de rechte $AC$ in $I$. De middelloodlijn van $OA$ snijdt $S$ in $E$ en $F$. Bewijs dat $I$ het midden is van de ingeschreven cirkel van de driehoek $CEF$.

Vraag 4 Opgelost!

De cirkels $S_1$ en $S_2$ snijden in $P$ en $Q$. Verschillende punten $A_1$ en $B_1$ (niet gelijk aan $P$ of $Q$) worden geselecteerd op $S_1$. De rechten $A_1P$ en $B_1P$ snijden $S_2$ opnieuw in $A_2$ en $B_2$ respectievelijk en de rechten $A_1B_1$ snijden in $A_2B_2$ snijden in $C$. Bewijs dat, als $A_1$ en $B_1$ variëreren, de middens van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $A_1A_2C$ allemaal op een vaste cirkel liggen.

Vraag 5

Voor iedere verzameling $S$ van vijf punten in het vlak, waarvan er geen drie collineair zijn, stel $M(S)$ en $m(S)$ gelijk aan de grootste en kleinste oppervlakte respectievelijk, van driehoeken die bepaald zijn door drie punten van $S$. Wat is de minimumwaarde van $M(S)/m(S)$?

Vraag 6

Zij $n\geq3$ een natuurlijk getal. Zij $C_1,C_2,\ldots,C_n$ eenheidscirkels in het vlak, met middens $O_1,O_2,\dots,O_n$ respectievelijk. Als geen enkele rechte meer dan twee van de cirkels snijdt, bewijs dan dat
$$\sum_{1\leq i < j\leq n}\frac1{O_iO_j}\leq\frac{(n-1)\pi}4.$$

Vraag 7

De ingeschreven cirkel $\Omega$ van de scherphoekige driehoek $ABC$ raakt $BC$ in $K$. Zij $AD$ een hoogte van de driehoek $ABC$ en $M$ het midden van $AD$. Als $N$ het andere gemeenschappelijke punt van $\Omega$ en $KM$ is, bewijs dan dat $\Omega$ en de omgeschreven cirkel van driehoek $BCN$ raken in $N$.

Vraag 8

Zij $S_1$ en $S_2$ twee cirkels die snijden in $A$ en $B$. Een rechte door $A$ snijdt $S_1$ in $C$ en $S_2$ in $D$. De punten $M,N,K$ liggen op de lijnstukken $CD,BC,BD$ respectievelijk, met $MN$ parallel met $BD$ en $MK$ parallel met $BC$. Zij $E$ en $F$ punten op de bogen $BC$ van $S_1$ en $BD$ van $S_2$ respectievelijk, die $A$ niet bevatten. Als gegeven is dat $EN\bot BC$ en $BC\bot FK$, bewijs dat $\angle EMF=90^\circ$.

Vraag 9 Opgelost!

Wat is het kleinste natuurlijk getal $t$ zodat er gehele getallen $x_1,x_2,\ldots,x_t$ bestaan met
$$x_1^3+x_2^3+\cdots+x_t^3=2002^{2002}?$$

Vraag 10 Opgelost!

Zij $n\geq2$ een natuurlijk getal, met delers $1=d_1 < d_2 < \ldots < d_k=n$. Bewijs dat $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ altijd kleiner is dan $n^2$ en bepaal wanneer het een deler is van $n^2$.

Vraag 11

Zij $p_1,p_2,\ldots,p_n$ verschillende priemgetallen groter dan 3. Toon aan dat $2^{p_1p_2\ldots p_n}+1$ minimum $4^n$ delers heeft.

Vraag 12

Bestaat er een natuurlijk getal $m$ zodat de vergelijking
$$\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1{abc}=\frac m{a+b+c}$$
oneindig veel oplossingen heeft in natuurlijke getallen $a,b,c$?

Vraag 13

Zij $m,n\geq2$ natuurlijke getallen en $a_1,a_2,\ldots,a_n$ gehele getallen, waarvan er geen enkele een veelvoud is van $m^{n-1}$. Toon aan dat er gehele getallen $e_1,e_2,\ldots,e_n$ bestaan, niet allemaal gelijk aan 0, met $|e_i|\le m$ voor alle $i$, zodat $e_1a_1+e_2a_2+\cdots+e_na_n$ een veelvoud is van $m^n$.

Vraag 14

Vind alle koppels van natuurlijke getallen $m,n\geq3$ waarvoor er oneindig veel natuurlijke getallen $a$ bestaan zodat
$$\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$$
zelf een geheel getal is.

Vraag 15 Opgelost!

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat
$$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$$
voor alle reële $x,y$.

Vraag 16 Opgelost!

Zij $a_1,a_2,\ldots$ een oneindige rij van reële getallen, waarvoor er een reëel getal $c$ bestaat met $0\leq a_i\leq c$ voor alle $i$, zodat
$$|a_i-a_j|\geq\frac1{i+j}\ \forall i,j,\ i\neq j.$$
Bewijs dat $c\geq1$.

Vraag 17 Opgelost!

Zij $P$ een derdegraadsveelterm gegeven door $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, met $a,b,c,d$ gehele getallen en $a\neq0$. Veronderstel dat $xP(x)=yP(y)$ voor oneindig veel koppels $x,y$ met $x\neq y$. Bewijs dat de vergelijking $P(x)=0$ een gehele oplossing heeft.

Vraag 18 Opgelost!

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat
$$(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$$
voor alle reële $x,y,z,t$.

Vraag 19

Zij $n$ een natuurlijk getal dat geen derdemacht is. Definieer reële getallen $a,b,c$ door
$$a=\sqrt[3]n,\ \ \ b=\frac1{a-\lfloor a\rfloor},\ \ \ c=\frac1{b- \lfloor b \rfloor}.$$
Bewijs dat er oneindig veel natuurlijke getallen $n$ bestaan met de eigenschap dat er gehele getallen $r,s,t$, niet allemaal 0, bestaan zodat $ar+bs+ct=0$.

Vraag 20

Zij $A$ een niet-lege verzameling van natuurlijke getallen. Veronderstel dat er positieve natuurlijke getallen $b_1,\ldots,b_n$ en $c_1,\ldots,c_n$ bestaan zodat
- voor iedere $i$ is de verzameling $b_iA+c_i$ een deelverzameling van $A$, en
- de verzamelingen $b_iA+c_i$ en $b_jA+c_j$ zijn disjunct als $i\neq j$.
Bewijs dat
$$\frac1{b_1}+\cdots+\frac1{b_n}\leq1.$$

Vraag 21

Zij $n$ een natuurlijk getal. Ieder punt $(x,y)$ in het vlak, met $x,y$ natuurlijke getallen en $x+y < n$, wordt rood of blauw gekleurd, de volgende voorwaarde in acht houdend: als een punt $(x,y)$ rood gekleurd is, dan ook alle punten $(x',y')$ met $x'\leq x$ en $y'\leq y$. Zij $A$ het aantal manieren om $n$ blauwe punten met verschillende $x$-coördinaten te kiezen, en zij $B$ het aantal manieren om $n$ blauwe punten met verschillende $y$-coördinaten te kiezen. Bewijs dat $A=B$.

Vraag 22

Voor $n$ een oneven natuurlijk getal worden de eenheidsvierkantjes van een $n\times n$ schaakbord afwisselend zwart en wit gekleurd, met de vier hoekpunten zwart. Een tromino is een figuur in de vorm van een $L$ die bestaat uit drie eenheidsvierkantjes. Voor welke waarden van $n$ is het mogelijk om alle zwarte vierkantjes te bedekken met niet-overlappende tromino's? Wanneer het mogelijk is, wat is het minimum aantal benodigde tromino's?

Vraag 23

Zij $n$ een natuurlijk getal. Een rij van $n$ natuurlijke getallen (niet noodzakelijk verschillend) wordt vol genoemd als het voldoet aan de volgende voorwaarde: voor ieder natuurlijk getal $k\geq2$, als het getal $k$ voorkomt in de rij, dan ook $k-1$, en daarenboven, de eerste keer dat $k-1$ voorkomt komt voor de laatste keer dat $k$ voorkomt. Voor iedere $n$, hoeveel volle rijen zijn er?

Vraag 24

Zij $T$ de verzameling van geordende drietallen $(x,y,z)$, met $x,y,z$ natuurlijke getallen en $0\leq x,y,z\leq9$. De spelers $A$ en $B$ spelen het volgende gis-spelletje. Speler $A$ kiest een drietal $(x,y,z)\in T$ en speler $B$ moet dit drietal weten te raden in zo weinig mogelijk bewegingen. Een beweging bestaat uit het volgende: $B$ geeft $A$ een drietal $(a,b,c)\in T$ en $A$ antwoordt door het getal $|x+y-a-b|+|y+z-b-c|+|z+x-c-a|$ te geven aan $B$. Vind het minimum aantal bewegingen dat $B$ nodig heeft om met zekerheid het drietal van $A$ te weten.

Nederlandstalig olympiadeproject