algebra 3
Opgave - IMOSL 2002 vraag 17
Zij $P$ een derdegraadsveelterm gegeven door $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, met $a,b,c,d$ gehele getallen en $a\neq0$. Veronderstel dat $xP(x)=yP(y)$ voor oneindig veel koppels $x,y$ met $x\neq y$. Bewijs dat de vergelijking $P(x)=0$ een gehele oplossing heeft.
- login om te reageren
Oplossing
We hebben $x-y|xP(x)-yP(y)$, dit wegdelen geeft ons $a(x^2+y^2)(x+y)+b(x^2+xy+y^2)+c(x+y)+d=0$ ofte $P(x+y)=(b+2a(x+y))xy$ voor oneindig veel koppels $(x,y)$.
Schrijven we nu $r=a+b,s=a^2+b^2$ en doen we alles maal 2 dan staat er $2ars+b(r^2+s) +2cr+2d=0$ voor oneindig veel koppels $(r,s)$, zodat wegens AM-GM
$$O(r^2)=\frac{r^2}2\le s=-\frac{br^2+2cr+2d}{2ar+b}=O(r^1).$$
Dat kan maar voor eindig veel waarden van $r$, dus is er wegens het duivenhokprincipe een $r_0$ waarvoor er oneindig veel oplossingen $(x,y)=(t,r_0-t)$ zijn. Maar $P(r_0)=(b+2ar_0)xy$ heeft maar eindig veel gehele oplossingen $(x,y)$ voor $b+2ar_0\not=0$, dus is $r_0=\frac{-b}{2a}$ een gehele oplossing van de veelterm.