getaltheorie 2
Opgave - IMOSL 2002 vraag 10
Zij $n\geq2$ een natuurlijk getal, met delers $1=d_1 < d_2 < \ldots < d_k=n$. Bewijs dat $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ altijd kleiner is dan $n^2$ en bepaal wanneer het een deler is van $n^2$.
- login om te reageren
Oplossing
Aangezien we de delers verschillend nemen, moet zeker gelden dat $d_{n+1-i}\le \frac ni$. Noteren we $d=d_1d_2+d_2d_3+\ldots+d_{k-1}d_k$, dan geldt dus $$\begin{array}{rcl} d&\le& n^2\left(\frac1{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(k-1)\cdot k}\right)\\&=&n^2\left(\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+ \cdots+\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)\right)\\&=&n^2\left(1-\frac1k\right)
\\&<&n^2.\end{array}$$
Als nu $n$ priem is, dan is $d=n|n^2$. Als $n$ niet priem is, zegge met kleinste priemdeler $p$, dan is $d>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}p$. Maar $d|n^2$ impliceert dat $d\le\frac{n^2}p$, strijdigheid.