algebra 1

Tags:

Opgave - IMOSL 2002 vraag 15

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat

$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

voor alle reële $x,y$ .

Ingediend door Jan

Stel $y= -f(x)$ :

$f(0)-2x = f(f(-f(x))-x)$

Dus $f$ is surjectief.

We zijn dus verzekerd van het bestaan van een $\alpha$ zodat $f(\alpha) = 0$ .

Stel nu $f(y)=x=\alpha$ en werk uit:

$\alpha = - f(0)$

Stel nu $x=\alpha$ en $f(y)=q$ :

$q = 2\alpha + f(q-\alpha) = -2f(0) + f(q+f(0))$

Subtitueer nu $\chi = q+f(0)$ , we zien duidelijk dat $\chi$ elke reële waarde kan aannemen:

$f(\chi) = \chi + f(0)$

Controleren levert dat functies van die vorm een geldige oplossing zijn, en bijgevolg zijn het de enige...