Home › Archief › Internationale Olympiades › IMOSL › 2002 › meetkunde 4

meetkunde 4

Tags:

Opgave - IMOSL 2002 vraag 4

De cirkels $S_1$ en $S_2$ snijden in $P$ en $Q$. Verschillende punten $A_1$ en $B_1$ (niet gelijk aan $P$ of $Q$) worden geselecteerd op $S_1$. De rechten $A_1P$ en $B_1P$ snijden $S_2$ opnieuw in $A_2$ en $B_2$ respectievelijk en de rechten $A_1B_1$ snijden in $A_2B_2$ snijden in $C$. Bewijs dat, als $A_1$ en $B_1$ variëreren, de middens van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $A_1A_2C$ allemaal op een vaste cirkel liggen.

Oplossing

Ingediend door arne

Het is min of meer triviaal dat $C$ op de cirkel door $A_1$, $A_2$ en $Q$ ligt. Zij $O$ het middelpunt van die cirkel. Omdat $O$ en $O_1$ op de middelloodlijn van $A_1Q$ liggen, hebben we dat $\angle OO_1Q = \frac12 \angle A_1O_1Q = 180^\circ - \angle A_1PQ$. Analoog is $\angle OO_2Q = 180^\circ - \angle A_2PQ$. Omdat $\angle OO_1Q + \angle OO_2Q = 180^\circ$ ligt $O$ op de vaste cirkel door $O_1$, $O_2$ en $Q$.

De oplossing is korter dan de opgave :)