getaltheorie 1

Tags:

Opgave - IMOSL 2002 vraag 9

Wat is het kleinste natuurlijk getal $t$ zodat er gehele getallen $x_1,x_2,\ldots,x_t$ bestaan met
$$x_1^3+x_2^3+\cdots+x_t^3=2002^{2002}?$$

Ingediend door Jan

We kunnen bewijzen dat $t >3$, want derdemachten kunnen enkel $0,1,-1$ zijn in modulo $9$.

$2002 \equiv 4 \pmod 9$ en $4^3 \equiv 1 \pmod 9$, dus we zien dat $$2002^{2002} \equiv 4^{2002} \equiv 4 \pmod 9$$

Dus moet $t \geq 4$

Nu tonen we aan dat het inderdaad mogelijk is om $2002^{2002}$ te schrijven als de som van $4$ derdemachten:

We kunnen heel eenvoudig inzien dat $2002 = 10^3 + 10^3 + 1^3 + 1^3$

Dus $2002^{2002} = 2002^{2001}.(10^3+10^3+1^3+1^3)$

Wat duidelijk de som van 4 derdemachten is. :smile:

Mijn eerste Getaltheorie-shortlist! En nu even bekomen met wat meetkunde of zo... :grin: