algebra 4

Tags:

Opgave - IMOSL 2002 vraag 18

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat
$$(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$$
voor alle reële $x,y,z,t$.

Ingediend door Karsten

Permuteer x<->z en y<->t in de vgl, dan is $f(xt-yz)=f(yz-xt)$.
Kies $t=1,y=z=0$ dan is $f(x)=f(-x)$. Dus f is even.
Neem $x=y=z=t=0$, dan volgt $f(0) \in\{ 0,1/2 \}$.
Neem $x=y=z=0$, dan volgt $f(0) = 0$ of $f\equiv 1/2$.
Onderstel dus vanaf nu $f(0)=0$.
Neem $y=t=0$, dan volgt $f(x) f(z) = f(xz)$, dus $f$ is multiplicatief. [2]
Neem $x=1$, dan is $f(1)f(z)=f(z)$, dus $f \equiv 0$ of $f(1)=1$.
Onderstel dus vanaf nu $f(1)=1$.
$f(x) = f(sqrt(x))^2 > 0$ voor alle x>0 en dus ook voor alle x<0.
Neem $x=z$, $y=t$ en zij $x^2+y^2=r^2$, dan volgt $(f(x)+f(y))^2 = f(r^2) = f(r)^2$, dus $f(x) + f(y) = f( r )$ .
Zij nu $a > b > 0$; dan bestaat $x>0$ zodat $b^2 + x^2 = a^2$.
$f(b) + f(x) = f(a)$, dus $f(a)-f(b) = f(x) > 0$, dus $f(a) > f(b)$.
Dus $f$ is stijgend voor positieve waarden.
Neem $y = x$, en kies $x$ zo dat $f(x)\neq 0$ en gebruik [2], er volgt:
$2 ( f(z)+f(t) ) = f(t+z) + f(t-z)$ [3]

Stel dat $f(q-1) = (q-1)^2, f(q)=q^2, f(1)=1^2$.
Neem $t = q, z=1$ in [3] dan is $2 (1+q^2) = f(q+1) + (q-1)^2$, dus $f(q+1) = (q+1)^2$.
Merk op dat ihb $f(n)=n^2$ voor $n\in\mathbb N$, uit f(1)=1 en f(0)=0.
Merk op dat ihb $f(q)=q^2$ voor alle $q \in \mathbb Q$, uit $f(a/b) = f(a)/f(b) = a^2/b^2$.
Vermits nu $f$ stijgend is en $f(x)=x^2$ op $\mathbb Q$ is $f(x)=x^2$ overal.
Dus de drie oplossingen zijn $f(x)=0$, $f(x)=1/2$ en $f(x)=x^2$.