IMOSL 1998

Vraag 1

Een convexe vierhoek $ABCD$ heeft loodrechte diagonalen. De middelloodlijnen van $AB$ en $CD$ snijden in een uniek punt $P$ binnen de vierhoek $ABCD$. Bewijs dat $ABCD$ een koordenvierhoek is als en slechts als de driehoeken $ABP$ en $CDP$ gelijke oppervlaktes hebben.

Vraag 2

Zij $ABCD$ een koordenvierhoek. Zij $E$ en $F$ veranderlijke punten op de zijden $AB$ en $CD$ respectievelijk zodat $AEEB=CFFD$. Zij $P$ het punt op het lijnstuk $EF$ zodat $PEPF=ABCD$. Bewijs dat de verhouding tussen de oppervlaktes van de driehoeken $APD$ en $BPC$ niet afhankelijk zijn van de keuze van $E$ en $F$.

Vraag 3

Zij $I$ het midden van de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$. Zij $K,L,M$ de raakpunten van de ingeschreven cirkel van $ABC$ met de zijden $AB,BC,CA$ respectievelijk. De rechte $t$ gaat door $B$ en is parallel met $KL$. De rechten $MK$ en $ML$ snijden $t$ in de punten $R$ en $S$. Bewijs dat $\angle RIS$ scherp is.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $M$ en $N$ punten binnen de driehoek $ABC$ zodat $\angle MAB=\angle NAC$ en $\angle MBA=\angle NBC$. Bewijs dat
$$\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BA\cdot BC}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}=1.$$

Vraag 5 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek, $H$ het zwaartepunt, $O$ het midden van de omgeschreven cirkel, en $R$ de straal van de omgeschreven cirkel. Zij $D$ de spiegeling van $A$ rond $BC$, $E$ de spiegeling van $B$ rond $CA$ en $F$ de spiegeling van $C$ rond $AB$. Bewijs dat $E,F,G$ collineair zijn als en slechts als $OH=2R$.

Vraag 6

Zij $ABCDEF$ een convexe zeshoek zodat $\angle B+\angle D+\angle F=360^\circ$ en
$$\frac{AB}{BC}\cdot\frac{CD}{DE}\cdot\frac{EF}{FA}=1.$$
Bewijs dat
$$\frac{BC}{CA}\cdot\frac{AE}{EF}\cdot\frac{FD}{DB}=1.$$

Vraag 7

Zij $ABC$ een driehoek zodat $\angle ACB=2\angle ABC$. Zij $D$ het punt op de zijde $BC$ zodat $CD=2BD$. Het lijnstuk $AD$ wordt verlengd tot $E$ zodat $AD=DE$. Bewijs dat
$$\angle ECB+180^\circ=2\angle EBC.$$

Vraag 8 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek zodat $\angle A=90^\circ$ en $\angle B<\angle C$. De raaklijn in $A$ aan zijn omgeschreven cirkel $\omega$ snijdt de rechte $BC$ in $D$. Zij $E$ de spiegeling van $A$ rond $BC$, $X$ het voetpunt van de loodrechte uit $A$ op $BE$, en $Y$ het midden van $AX$. Zij $Z$ het andere snijpunt van $BY$ en $\omega$. Bewijs dat de rechte $BD$ raakt aan de omgeschreven cirkel van driehoek $ADZ$.

Vraag 9

Bepaal alle koppels $(x,y)$ van natuurlijke getallen zodat $x^2y+x+y$ deelbaar is door $xy^2+y+7$.

Vraag 10

Bepaal alle koppels $(a,b)$ van reële getallen zodat $a\lfloor bn\rfloor=b\lfloor an\rfloor$ voor alle $n\in\mathbb{N}$.

Vraag 11 Opgelost!

Bepaal het kleinste natuurlijke getal $n\geq4$ waarvoor men uit elke $n$ verschillende natuurlijke getallen er vier ($a,b,c,d$) kan kiezen zodat $a+b-c-d$ deelbaar is door 20.

Vraag 12

Een rij van gehele getallen wordt als volgt gedefinieerd: $a_1=1$ en voor $n\geq1$ is $a_{n+1}$ het kleinste geheel getal groter dan $a_n$ zodat $a_i+a_j\neq 3a_k$ voor elke $i,j,k\in\{1,2,\ldots,n+1\}$, niet noodzakelijk verschillend. Bepaal $a_{1998}$.

Vraag 13

Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ waarvoor er een natuurlijk getal $m$ bestaat zodat $2^n-1$ een deler is van $m^2+9$.

Vraag 14

Voor elk natuurlijk getal $n$, stellen we $\tau(n)$ gelijk aan het aantal positieve delers van $n$ (zichzelf en 1 meegerekend). Bepaal alle natuurlijke getallen $m$ waarvoor er een natuurlijk getal $n$ bestaat zodat $\displaystyle{\frac{\tau(n^2)}{\tau(n)}=m}$.

Vraag 15

Bewijs dat er voor ieder natuurlijk getal $n$ een natuurlijk getal bestaat met de volgende eigenschappen: Het heeft precies $n$ cijfers, waarvan er geen enkel 0 is, en het is deelbaar door de som van zijn cijfers.

Vraag 16

Zij $a_0,a_1,a_2,\ldots$ een stijgende rij van natuurlijke getallen zodat ieder natuurlijk getal op een unieke manier kan uitgedrukt worden in de vorm $a_i+2a_j+4a_k$ met $i,j,k$ niet noodzakelijk verschillend. Bepaal $a_{1998}$.

Vraag 17

Zij $a_1,a_2,\ldots,a_n$ positieve reële getallen zodat $a_1+a_2+\cdots+a_n<1$. Bewijs dat
$$\frac{a_1a_2\ldots a_n(1-(a_1+a_2+\cdots+a_n))}{(a_1+a_2+ \cdots+a_n) (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)} \leq\frac1{n^{n+1}}.$$

Vraag 18 Opgelost!

Zij $r_1,r_2,\ldots,r_n$ reële getallen groter of gelijk aan 1. Bewijs dat
$$\frac1{r_1+1}+\frac1{r_2+1}+\cdots+\frac1{r_n+1}\geq\frac n{\sqrt[n]{r_1r_2\ldots r_n}+1}.$$

Vraag 19 Opgelost!

Zij $x,y,z$ positieve reële getallen zodat $xyz=1$. Bewijs dat
$$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq\frac34.$$

Vraag 20

Zij $n\geq k\geq0$ natuurlijke getallen. De getallen $c(n,k)$ worden als volgt gedefinieerd:
- $c(n,0)=c(n,n)=1$ voor alle $n\geq0$;
- $c(n+1,k)=2^kc(n,k)+c(n,k-1)$ voor $n\geq k\geq1$.
Bewijs dat $c(n,k)=c(n,n-k)$ voor alle $n\geq k\geq0$.

Vraag 21

Bepaal de kleinst mogelijke waarde voor $f(1998)$, met $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ een functie die voor alle $m,n\in\mathbb N$ voldoet aan
$$f(n^2f(m))=m(f(n))^2.$$

Vraag 22

Zij $A$ een reële $m\times n$ matrix. In iedere rij en iedere kolom is de som van alle elementen een geheel getal. Bewijs dat ieder niet-geheel getal $x$ in de tabel door ofwel $\lceil x\rceil$ ofwel $\lfloor x\rfloor$ kan vervangen worden, zodanig dat de rij- en kolom-sommen ongewijzigd blijven.

Vraag 23

Zij $n\geq2$ een natuurlijk getal. Een natuurlijk getal wordt bereikbaar genoemd als het ofwel 1 is, ofwel bereikt kan worden uit 1 via een rij van operaties met de volgende eigenschappen:
(a) Enkel de bewerkingen $+2$, $+n$, $\cdot2$, $\cdot n$ zijn toegestaan
(b) De eerste operatie is ofwel de optelling of de vermenigvuldiging.
(c) Daarna worden zowel de optelling als de vermenigvuldiging afwisselend gebruikt.
Een natuurlijk getal die zo niet bereikt kan worden, noemen we onbereikbaar.
(a) Bewijs dat als $n\geq9$, er oneindig veel onbereikbare getallen zijn.
(b) Bewijs dat als $n=3$, dan alle natuurlijke getallen behalve 7 bereikbaar zijn.

Vraag 24

Kaarten genummerd 1 tot en met 9 worden willekeurig in een rij geschikt. Tijdens een beweging mag men elke blok van opeenvolgende kaarten waarvan de getallen in stijgende of dalende volgorde liggen nemen en dat blok omdraaien. Zo mag je bijvoorbeeld $9\ 1\ \underline{6\ 5\ 3}\ 2\ 7\ 4\ 8$ veranderen in $9\ 1\ \underline{3\ 5\ 6}\ 2\ 7\ 4\ 8$. Bewijs dat men met maximum 12 bewegingen, alle kaarten in ofwel stijgende ofwel dalende volgorde kan schikken.

Vraag 25

Zij $S\subseteq U=\{1,2,\ldots,n\}$ met $n\geq3$. Een permutatie van de elementen van $U$ splijt $S$ als een element dat niet in $S$ voorkomt in die permutatie voorkomt tussen twee elementen die wel in $S$ zitten. Bijvoorbeeld, 13542 splikt $\{1,2,3\}$ maar niet $\{3,4,5\}$. Bewijs dat voor elke $n-2$ deelverzamelingen van $U$, met ieder minstens 2 elementen en maximum $n-1$ elementen, er een schikking van de elementen van $U$ bestaat die al deze deelverzamelingen splijt.

Vraag 26

In een wedstrijd zijn er $n$ deelnemers en $m$ juryleden, met $n\geq3$ een oneven natuurlijk getal. Iedere kandidaat wordt door ieder jurylid beoordeeld als geslaagd of gebuisd. Veronderstel dat ieder koppel juryleden akkoord gaat met elkaar over maximum $k$ kandidaten. Bewijs dat
$$\frac km\geq\frac{n-1}{2n}.$$

Vraag 27

Tien punten worden gemarkeerd in het vlak, geen drie collineair. Ieder koppel punten wordt verbonden met een lijnstuk. Ieder van deze lijnstukken wordt gekleurd in één van $k$ kleuren, zodat voor iedere $k$ van de tien punten, er $k$ lijnstukken zijn die elk twee van deze punten verbinden en er geen twee in dezelfde kleur geverfd zijn. Bepaal alle natuurlijke getallen $k$ met $1\leq k\leq10$ waarvoor dit mogelijk is.

Vraag 28

Een spelletje solitaire wordt gespeeld op een $m\times n$ bord met $mn$ pionnen, die wit zijn aan één kant, en zwart aan de andere kant. Oorspronkelijk bevat ieder vakje op het bord een pion met de witte kant naar boven, behalve één hoekvakje, die een pion bevat met de zwarte kant naar boven ligt. Tijdens elke beweging, mag men een pion wegnemen die met de zwarte kant naar boven ligt, maar dan moet men wel alle andere pionnen die op een vakje liggen dat een zijde gemeenschappelijk had met het vakje van de weggenomen pion omdraaien. Bepaal alle koppels $(m,n)$ van natuurlijke getallen zodat alle pionnen van het bord verwijderd kunnen worden.