getaltheorie 3

We bewijzen dat $n=9$ voldoet:

Stellen we eens uit het ongerijmde dat er $9$ getallen zijn, waaruit er geen $4$ getallen $(a,b,c,d)$ te nemen zijn die voldoen aan $20|(a+b-c-d).$ We noemen de $9$ getallen $x_1,x_2,...,x_9$. We noteren $y_i$ de rest van $x_i$ bij deling door $20$.

We bekijken nu de sommen van de vorm $y_i+y_j$, waarbij $i,j\in\{1,2,..,9\}$ en $i \not= j$. We hebben $9\cdot8=72$ manieren om koppels $(i,j)$ te kiezen die voldoen, omdat de som men $y_i+y_j$ en $y_j+y_i$ gelijk zijn, hebben we slechts $\frac{72}{2}=36$ verschillende sommen. Er zijn hier dus sommen in die gelijk zijn modulo $20$ volgens het duivenhokprincipe, of $y_i+y_j\equiv y_k+y_l \pmod{20}$.

Als $i,j,k,l$ vier verschillende getallen uit $ {1,2,...9} $zijn, voldoet $(x_i,x_j,x_k,x_l)$ aan
$20|(x_i+x_j-x_k-x_l)$, want $x_i+x_j-x_k-x_l \equiv y_i+y_j-y_k-y_l \pmod{20}$. Omdat er verondersteld werd dat er geen gelijke sommen waren, moeten er $m,n$ bestaan waarvoor $y_m=y_n$.

Als we echter $4$ getallen $(i,j,k,l)$ konden vinden zodat $y_i=y_k$ en $y_j=y_l$, voldeed $(x_i,x_j,x_k,x_l)$ terug. Er kunnen dus maximaal $3$ gelijke getallen zitten in $\{y_1,y_2,...,y_9\}$. Nemen we de gelijke weg uit deze verzameling, hebben we een nieuwe verzameling bestaande uit $7$ verschillende getallen, er zijn dus $\frac{7\cdot6}{2}=21$ verschillende sommen van de vorm $y_i+y_j$. We kunnen dus volgens het duivenhokprincipe toch twee sommen vinden die voldoen aan $y_i+y_j\equiv y_k+y_l \pmod{20}$, de vier getallen $(x_i,x_j,x_k,x_l)$ voldeden dan toch, contradictie met onze veronderstelling.

We bewijzen dat $n=8$ niet voldoet met een voorbeeld: de verzameling $\{1,2,4,7,12,20,40,60\}$ bevat geen $4$ getallen $(a,b,c,d)$ die voldoen aan $20|(a+b-c-d).$

We besluiten dat de gevraagde waarde $n=9$ is.