meetkunde 5

Men kan aan de punten $D$, $E$ en $F$ driehoekscoordinaten toekennen. Men krijgt dan:
$$
D=(-h_a,2h_a \cos \gamma,2 h_a \cos \beta)=(-1,2 \cos \gamma,2 \cos \beta)
$$
$$
E=(2h_b \cos \gamma,-h_b,2 h_b \cos \alpha)=(2 \cos \gamma,-1,2 \cos \alpha)
$$
$$
F=(2 h_c \cos \beta, 2h_c \cos \alpha , -h_c)=(2 \cos \beta, 2 \cos \alpha , -1).
$$
Nu kan men de stelling gebruiken dat drie punten collineair zijn als en slecht als de determinant van de matrix die als rijen de driehoekscoordinaten van de punten heeft 0 is. Of te wel
$$
D, E , F coll. \Leftrightarrow
\left|
\begin{array}{ccc}
-1 & 2 \cos \gamma & 2 \cos \beta\\
2 \cos \gamma & -1 & 2 \cos \alpha\\
2 \cos \beta & 2 \cos \alpha & -1\\
\end{array}
\right| =0.
$$
De determinant uitwerken levert $ 4(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma)+16\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1=0$. Samen met de, voor driehoeken altijd geldende, uitdrukking $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma=1$ levert dit: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma=\frac{7}{4}$. Door gebruik maken van de identiteit $sin^2 \theta + cos^2 \theta =1$ voor alle $\theta$ krijgt men $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma=\frac{5}{4}$. Als men nu gebruik van het volgende twee gegevens:
$$
OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)
$$
en
$$
a=2R \sin \alpha
$$
dan krijgt men dat $OH^2=4R^2$, waaruit gevraagde volgt. Duidelijk mag zijn dat alle gemaakte stappen twee kanten opwerken zodat men krijgt:
$$
D, E, F coll. \Leftrightarrow OH=2R.
$$
$
\Box
$