algebra 3

Als we de breuken op gelijke noemer zetten en het kruisproduct toepassen, bekomen we de equivalente vergelijking
$$ 4\left(x^3(x+1)+y^3(y+1)+z^3(z+1)\right)\ge3\left((1+x)(1+y)(1+z)\right) $$
als we dit uitwerken en het gegeven $xyz=1$ invullen, komt dit overeen met
$$ 4x^3+4y^3+4z^3+4x^4+4y^4+4z^4\ge 6+3x+3y+3z+3xy+3yz+3xz $$
Wat we kunnen verdelen in
$$x^3+x^4+y^3+y^4+z^3+z^4\ge6\cdot (xyz)^{\frac{7}{6}}=6$$
$$3(x^3+y^3+z^3)=1.5(\sum_{sym}^{3} x^{\frac{7}{3}}y^{\frac{-2}{3}}z^{\frac{-2}{3}}) \ge1.5( \sum_{sym}^{3} x )=3(x+y+z)$$
$$3(x^4+y^4+z^4)=1.5(\sum_{sym}^{3} x^{\frac{10}{3}}y^{\frac{-2}{3}}z^{\frac{-2}{3}})$$ $$\ge1.5(\sum_{sym}^{3}x^2)= 3(x^2+y^2+z^2) \ge 3(xy+zx+yz)$$
Dit alles volgt uit AM-GM, $xyz=1$, Muirhead.
De som van deze $3$ ongelijkheden geeft wat we wilden bewijzen.