algebra 2

Beschouw de functie $f(x)=\ln(\frac 1x-1)$, met domein $]0,1[.$ Dan geldt $f''(x)=\frac{1-2x}{(x-1)^2 x^2}$. Dus $f''(x)\geq 0 \Leftrightarrow \frac 12 \geq x$. $f$ is dus convex over $]0, \frac 12 ]$.

Aangezien $r_i \geq 1$, is $0<\frac{1}{1+r_i} \leq \frac 12$, en behoren de elementen $\frac{1}{1+r_i}$ tot het convexe domein van $f$. We passen nu de ongelijkheid van Jensen toe waarbij alle gewichten gelijk aan $\frac 1n$ zijn:
$$\sum_{i=1}^n \frac 1n \ln(\frac{1}{\frac{1}{r_i+1}}-1) \ge \ln(\frac{1}{\sum_{i=1}^n (\frac 1n \frac{1}{r_i+1})}-1)$$

Merk op dat
$$\sum_{i=1}^n \frac 1n \ln(\frac{1}{\frac{1}{r_i+1}}-1)=\sum_{i=1}^n \frac 1n \ln(r_i)=\ln(\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n r_i})$$
$$ \ln(\frac{1}{\sum_{i=1}^n (\frac 1n \frac{1}{r_i+1})}-1)=\ln(\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{r_i+1}}-1)$$

Omdat $ln$ een stijgende functie is, zien we dat

$$\ln(\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n r_i})> \ln(\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{r_i+1}}-1)
\Rightarrow \sum_{i=1}^n \frac{1}{r_i+1} \geq \frac{n}{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n r_i}+1}
$$ Q.E.D.