IMOSL 2004

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek met $AB\neq AC$. De cirkel met diameter $BC$ snijdt $AB$ en $AC$ in $M$ en $N$ respectievelijk. Stel $O$ het midden van $BC$. De bissectrices van $\angle BAC$ en $\angle MON$ snijden elkaar in $R$. Bewijs dat de omgeschreven cirkels van $\triangle BMR$ en $\triangle CNR$ een gemeenschappelijk punt hebben dat op de zijde $BC$ ligt.

Vraag 2 Opgelost!

De cirkel $\Gamma$ en de rechte $l$ snijden elkaar niet. Zij $AB$ de diameter van $\Gamma$ die loodrecht staat op $l$, met $B$ dichter bij $l$ dan $A$. Een willekeurig punt $C\neq A,B$ wordt gekozen op $\Gamma$. De rechte $AC$ snijdt $l$ in $D$. De rechte $DE$ raakt $\Gamma$ in $E$, met $B$ en $E$ aan dezelfde kant van $AC$. Zij $F$ het snijpunt van $BE$ en $l$, en $G\neq A$ het snijpunt van $AF$ en $\Gamma$. Bewijs dat de spiegeling van $G$ ten opzichte van $AB$ op de rechte $CF$ ligt.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $O$ het midden van de omgeschreven cirkel van een scherphoekige driehoek $ABC$ met $\angle B<\angle C$. De rechte $AO$ snijdt de zijde $BC$ in $D$. De middens van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $ABD$ en $ACD$ zijn $E$ en $F$ respectievelijk. Verleng de zijden $BA$ en $CA$ langs $A$, en kies op de respectieve verlengingen de punten $G$ en $H$ zodat $AG=AC$ en $AH=AB$. Bewijs dat de vierhoek $EFGH$ een rechthoek is als en slechts als $\angle ACB-\angle ABC=60^\circ$.

Vraag 4 Opgelost!

In een convexe vierhoek $ABCD$ snijdt de diagonaal $BD$ de hoeken $\angle ABC$ en $\angle CDA$ niet doormidden. Het punt $P$ ligt aan de binnenkant van $ABCD$ en voldoet aan $\angle PBC=\angle DBA$ en $\angle PDC=\angle BDA$. Bewijs dat vierhoek $ABCD$ cyclisch is als en slechts als $AP=CP$.

Vraag 5

Zij $A_1A_2\ldots A_n$ een regelmatige $n-$hoek. De punten $B_1,B_2,\ldots,B_{n-1}$ worden als volgt gedefinieerd:
- Als $i=1$ of $i=n-1$, dan is $B_i$ het midden van de zijde $A_iA_{i+1}$;
- Als $i\neq1$ en $i\neq n-1$ en $S$ is het snijpunt van $A_1A_{i+1}$ en $A_nA_i$, dan is $B_i$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle A_iSA_{i+1}$ en $A_iA_{i+1}$.
Bewijs dat $\angle A_1B_1A_n+\angle A_1B_2A_n+\cdots+\angle A_1B_{n-1}A_n=180^{\circ}.$

Vraag 6

Zij $\cal P$ een convexe veelhoek. Bewijs dat er een convexe zeshoek bestaat binnen $\cal P$ die minstens 75% van de oppervlakte van $\cal P$ bezet.

Vraag 7

Voor een gegeven driehoek $ABC$, zij $X$ een variabel punt op de rechte $BC$ zodat $C$ tussen $B$ en $X$ ligt en de ingeschreven cirkels van de driehoeken $ABX$ en $ACX$ elkaar in twee verschillende punten $P$ en $Q$ snijden. Bewijs dat de rechte $PQ$ door een punt gaat waarvan de locatie onafhankelijk van de keuze van $X$.

Vraag 8

Een koordenvierhoek $ABCD$ is gegeven. De rechten $AD$ en $BC$ snijden in $E$, met $C$ tussen $B$ en $E$. De diagonalen $AC$ en $BD$ snijden in $F$. Zij $M$ het midden van $CD$ en $N\neq M$ een punt op de omgeschreven cirkel van de driehoek $ABM$ zodat $AN/BN=AM/BM$. Bewijs dat de punten $E,F,N$ collineair zijn.

Vraag 9 Opgelost!

Zij $\tau(n)$ de functie die $n\in\mathbb N$ afbeeldt op het aantal verschillende positieve delers van $n$. Bewijs dat er oneindig veel natuurlijke getallen $a$ bestaan zodat de vergelijking $\tau(an)=n$ geen natuurlijk oplossing $n$ heeft.

Vraag 10

De functie $\psi\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ wordt gedefinieerd als $$\psi(n)=\sum_{k=1}^n(k,n),\ \ n\in\mathbb N$$ waar $(k,n)$ de grootste gemene deler van $k$ en $n$ voorstelt. Bewijs dat $\psi(mn)=\psi(m)\psi(n)$ voor elke twee onderling ondeelbare $m,n\in\mathbb N$. Bewijs dat voor iedere $a\in\mathbb N$, de vergelijking $\psi(x)=ax$ een oplossing heeft. Vind alle $a\in\mathbb N$ zodat de vergelijking $\psi(x)=ax$ een unieke oplossing heeft.

Vraag 11

Een functie $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ heeft de eigenschap dat voor alle $m,n\in\mathbb N$ geldt dat $f^2(m)+f(n)|(m^2+n)^2$. Bewijs dat $f(n)=n$ voor alle $n\in\mathbb N$.

Vraag 12

Zij $k$ een vast natuurlijk getal groter dan 1, en stel $m=4k^2-5$. Bewijs dat er natuurlijke getallen $a$ en $b$ bestaan zodanig dat de rij $(x_n)$ die gedefinieerd is door $$x_0=a,\ x_1=b,\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_n,\ \ \ n=0,1,2,\ldots,$$ al zijn termen onderling ondeelbaar heeft met $m$.

Vraag 13

We noemen een getal alternatief als al zijn cijfers afwisselend oneven en even zijn. Vind alle natuurlijke getallen $n$ zodat $n$ een alternatief veelvoud heeft.

Vraag 14

Gegeven een natuurlijk getal $n>1$, stel $P_n$ gelijk aan het product van alle natuurlijke getallen $x$ die kleiner zijn dan $n$ en zodat $n|x^2-1$. Voor ieder natuurlijk getal $n>1$, vind de rest bij deling door $n$ van $P_n$.

Vraag 15

Zij $p$ een oneven priemgetal en $n$ een natuurlijk getal. In het coördinatenvlak liggen er acht verschillende punten met gehele coördinaten op een cirkel met diameterlengte $p^n$. Bewijs dat er een driehoek bestaat met zijn hoekpunten onder de gegeven punten zodanig dat de kwadraten van de lengtes van zijn zijden natuurlijke getallen zijn die deelbaar zijn door $p^{n+1}$.

Vraag 16

Zij $n\geq3$ een natuurlijk getal en $t_1,t_2,\ldots,t_n$ positieve reële getallen zodat $$n^2+1>(t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac1{t_1}+\frac1{t_2}+\cdots+ \frac1{t_n}\right).$$ Toon aan dat $t_i,t_j,t_k$ de lengtes van de zijden van een driehoek zijn voor alle $i,j,k$ met $1\leq i < j < k \leq n$.

Vraag 17

Een oneindige rij $a_0,a_1,a_2,\ldots$ van reële getallen voldoet aan $a_n=|a_{n+1}-a_{n+2}|$ met $n\geq0$ en $a_0$ en $a_1$ verschillend en positief. Kan deze rij begrensd zijn?

Vraag 18

Bestaat er een functie $s\mathbb Q\rightarrow\{-1,1\}$ zodat als $x$ en $y$ verschillende rationale getallen zijn die voldoen aan $xy=1$ of $x+y\in\{0,1\}$, dan $s(x)s(y)=-1$? Verklaar je antwoord.

Vraag 19

Vind alle veeltermen $P(x)$ met reële coëfficiënten die voldoen aan $$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$$ voor alle drietallen $a,b,c$ van reële getallen met $ab+bc+ca=0$.

Vraag 20

Als $a,b,c>0$ en $ab+bc+ca=1$, bewijs dan dat $$\sqrt[3]{\frac1a+6b}+\sqrt[3]{\frac1b+6c}+\sqrt[3]{\frac1c+6a} \leq\frac1{abc}.$$

Vraag 21

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan $$f(x^2+y^2+2f(xy))=(f(x+y))^2$$ voor alle $x,y\in\mathbb R$.

Vraag 22

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 1 en $a_1,a_2,\ldots,a_n$ positieve reële getallen. Noteer hun meetkundig gemiddelde met $g_n$ en met $A_1,A_2,\ldots,A_n$ de rij van rekenkundige gemiddelden gedefinieerd door $$A_k=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}k,\ \ k=1,2,\ldots,n.$$ Zij $G_n$ het meetkundig gemiddelde van $A_1,A_2,\ldots,A_n$, bewijs dan dat $$n\sqrt[n]{\frac{G_n}{A_n}}+\frac{g_n}{G_n}\leq n+1$$ en vind alle gevallen waarin de gelijkheid optreedt.

Vraag 23

In een universiteit zijn er 10001 studenten. Sommige studenten komen samen om clubs te vormen (een student kan tot meerdere clubs behoren). Sommige clubs komen samen om gemeenschappen te vormen (een club kan tot meerdere gemeenschappen behoren). Er zijn in totaal $k$ gemeenschappen. Veronderstel dat de volgende eigenschappen gelden:
(i) Iedere twee studenten zit precies in één club allebei.
(ii) Voor iedere student en iedere gemeenschap geldt dat de student precies in één club van die gemeenschap zit.
(iii) Iedere club heeft een oneven aantal studenten. Daarenboven, een club met $2m+1$ studenten ($m$ een natuurlijk getal) behoort tot precies $m$ gemeenschappen.
Vind alle mogelijke waarden van $k$.

Vraag 24

Zij $n$ en $k$ natuurlijke getallen. Er zijn $n$ cirkels gegeven in het vlak. Elke twee van hen snijden in twee verschillende punten, en alle snijpunten zijn paarsgewijs verschillend, geen drie hebben een punt gemeen. Ieder snijpunt moet met één van de $n$ verschillende kleuren gekleurd worden zodat elk kleur minstens één keer gebruikt is en er precies $k$ verschillende kleuren voorkomen op iedere cirkel. Vind alle waarden van $n\geq2$ en $k$ waarvoor er zo'n kleuring mogelijk is.

Vraag 25

De volgende handeling is toegestaan op een eindige graaf: kies een willekeurige cykel van lengte 4 (als er zijn), en kies een willekeurig boog in die cykel, en verwijder die van de graaf. Voor een vast natuurlijk getal $n\geq4$, vind het minimum aantal bogen van een graaf dat verwijderd kan worden door herhaaldelijk deze handeling uit te voeren op de complete graaf met $n$ knopen.

Vraag 26

Beschouw een $n\times n$-matrix waarvan alle elementen reële getallen zijn met absolute waarde niet groter dan 1, en de som van alle elementen is 0. Zij $n$ een even natuurlijk getal, bepaal het kleinste getal $C$ zodat iedere matrix met die eigenschappen noodzakelijkerwijs een rij of een kolom heeft met de som der elementen in absolute waarde niet groter dan $C$.

Vraag 27

Zij $N$ een natuurlijk getal. Twee spelers $A$ en $B$ schrijven getallen uit de verzameling $\{1,2,\ldots,N\}$ op een bord. $A$ begint met het getal 1 te schrijven in zijn eerste beurt. Dan, als een speler $n$ heeft geschreven op een bepaalde beurt, mag de andere speler $n+1$ of $2n$ schrijven op het bord (zolang ze niet over het getal $N$ gaan). De speler die $N$ op het bord schrijft wint. We zeggen dat $N$ van type $A$ of $B$ is als $A$ respectievelijk $B$ een winnende strategie heeft. Bepaal of $N=2004$ van type $A$ of type $B$ is en bepaal het kleinste getal $N>2004$ dat van het andere type is.

Vraag 28

Voor een $n\times n$-matrix $A$, zij $X_i$ de verzameling elementen in rij $i$ en $Y_j$ de verzameling elementen in kolom $j$,$1\leq i,j\leq n$. We noemen $A$ gouden als $X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n$ allemaal verschillende verzamelingen zijn. Vind het kleinste natuurlijk getal $n$ zodanig dat er een gouden $2004\times2004$-matrix bestaat met alle elementen uit $\{1,...,n\}$.

Vraag 29

Bepaal alle $m\times n$ rechthoeken die kunnen bedekt worden met ``haken'' zoals aangegeven in de figuur, die bestaan uit 6 eenheidsvierkanten (zie figuur). Rotaties en spiegelingen van haken is toegelaten. De rechthoek dient bedekt te zijn zonder gaten noch overlappingen en geen enkel stuk van een haak mag buiten de rechthoek vallen.

Vraag 30

Voor een eindige graaf $G$, stel $f(G)$ gelijk aan het aantal driehoeken en $g(G)$ het aantal viervlakken gevormd door de bogen van de graaf $G$. Vind de kleinste constante $c$ zodat $$g(G)^3\leq c\cdot f(G)^4$$ voor elke graaf $G$.