meetkunde 3

Opgave - IMOSL 2004 vraag 3

Zij $O$ het midden van de omgeschreven cirkel van een scherphoekige driehoek $ABC$ met $\angle B<\angle C$. De rechte $AO$ snijdt de zijde $BC$ in $D$. De middens van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $ABD$ en $ACD$ zijn $E$ en $F$ respectievelijk. Verleng de zijden $BA$ en $CA$ langs $A$, en kies op de respectieve verlengingen de punten $G$ en $H$ zodat $AG=AC$ en $AH=AB$. Bewijs dat de vierhoek $EFGH$ een rechthoek is als en slechts als $\angle ACB-\angle ABC=60^\circ$.

Oplossing

Het is eenvoudig in te zien dat $EF$ de middelloodlijn is van $AD$.

Dus is $\angle ABC = \angle ABD = \frac{\angle AED}{2} = \angle AEF$

En ook $\angle ACB = \angle ACD = \frac{\angle AFD}{2} = \angle AFE$

Dus is het duidelijk dat $\Delta ACB$ gelijkvormig is met $\Delta AFE$.

Verder is het ook zeer eenvoudig om te bewijzen dat $\Delta AHG \cong ABC$ (ZHZ)

We zien eenvoudig dat $\angle ACD = 90^{\circ} - \angle BAD$
Dus $$\angle ADC = \angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ} - \angle ACB + \angle ABC$$

Dus ook $\angle ACF = \frac{180^{\circ} - \angle AFC}{2} = \angle ACB - \angle ABC$

Nu beginnen we eraan:
____________________________________________________

Als gegeven is dat $\angle ACB- \angle ABC = 60^{\circ}$:

$$\angle AFC = 2 \angle ADC = 60^{\circ}$$

Omdat $\left|AF\right| = \left|FC \right|$ is $\Delta ACF$ gelijkzijdig.

Hieruit volgt onmiddellijk dat $\Delta AFE \cong \Delta ACB$, want we hadden daarnet al dat ze gelijkvormig waren.

$G,C$ en $F$ liggen dus op een cirkel met $A$ als middelpunt.

Hieruit volgt dat $$\angle AFG = \frac{180^{\circ} - \angle GAF}{2} = \frac{180^{\circ} - 2(180^{\circ}-\angle GCF)}{2}$$
$$= \angle GCF - 90^{\circ} = \angle GCA - 30^{\circ} = \frac{180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB - 60^{\circ}}{2}$$
$$= 90^{\circ} - \angle ACB$$

Er geldt uiteraard ook dat $\angle AFG = \angle AGF$, dus uiteindelijk:

$$\angle GFE = \angle FGH = 90^{\circ}$$

Er geldt ook dat $\left|GH\right| = \left|FE\right|$, dus is $GHEF$ duidelijk een rechthoek.

____________________________________________________

Als gegeven is dat $GHEF$ een rechthoek is:

We zien eenvoudig dat
$$\angle GFE = 90^{\circ} = \angle AFG + \angle AFE $$
Dus ook dat $\angle AFG = 90^{\circ} - \angle ACB$

Ook waar is volgende uitspraak $$\angle FGH = 90^{\circ} = \angle AGF + \angle AGH$$
Dus ook de volgende: $\angle AGF = 90^{\circ} - \angle ACB = \angle AFG$

Dus is opnieuw

$$\left|AF\right| = \left|AC\right|= \left|CF\right|$$

En hieruit volgt dat $\angle ACF = 60^{\circ} = \angle ACB - \angle ABC$

Klaar! :smile: