meetkunde 3

Tags:

Opgave - IMOSL 2004 vraag 3

Zij $O$ het midden van de omgeschreven cirkel van een scherphoekige driehoek $ABC$ met $\angle B<\angle C$ . De rechte $AO$ snijdt de zijde $BC$ in $D$ . De middens van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $ABD$ en $ACD$ zijn $E$ en $F$ respectievelijk. Verleng de zijden $BA$ en $CA$ langs $A$ , en kies op de respectieve verlengingen de punten $G$ en $H$ zodat $AG=AC$ en $AH=AB$ . Bewijs dat de vierhoek $EFGH$ een rechthoek is als en slechts als $\angle ACB-\angle ABC=60^\circ$ .

Oplossing inzenden

Oplossing

Ingediend door Jan

Het is eenvoudig in te zien dat $EF$ de middelloodlijn is van $AD$ .

Dus is $\angle ABC = \angle ABD = \frac{\angle AED}{2} = \angle AEF$

En ook $\angle ACB = \angle ACD = \frac{\angle AFD}{2} = \angle AFE$

Dus is het duidelijk dat $\Delta ACB$ gelijkvormig is met $\Delta AFE$ .

Verder is het ook zeer eenvoudig om te bewijzen dat $\Delta AHG \cong ABC$ (ZHZ)

We zien eenvoudig dat $\angle ACD = 90^{\circ} - \angle BAD$
Dus

$\angle ADC = \angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ} - \angle ACB + \angle ABC$

Dus ook $\angle ACF = \frac{180^{\circ} - \angle AFC}{2} = \angle ACB - \angle ABC$

Nu beginnen we eraan:
____________________________________________________

Als gegeven is dat $\angle ACB- \angle ABC = 60^{\circ}$ :

$\angle AFC = 2 \angle ADC = 60^{\circ}$

Omdat $\left|AF\right| = \left|FC \right|$ is $\Delta ACF$ gelijkzijdig.

Hieruit volgt onmiddellijk dat $\Delta AFE \cong \Delta ACB$ , want we hadden daarnet al dat ze gelijkvormig waren.

$G,C$ en $F$ liggen dus op een cirkel met $A$ als middelpunt.

Hieruit volgt dat

$\angle AFG = \frac{180^{\circ} - \angle GAF}{2} = \frac{180^{\circ} - 2(180^{\circ}-\angle GCF)}{2}$

$= \angle GCF - 90^{\circ} = \angle GCA - 30^{\circ} = \frac{180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB - 60^{\circ}}{2}$

$= 90^{\circ} - \angle ACB$

Er geldt uiteraard ook dat $\angle AFG = \angle AGF$ , dus uiteindelijk:

$\angle GFE = \angle FGH = 90^{\circ}$

Er geldt ook dat $\left|GH\right| = \left|FE\right|$ , dus is $GHEF$ duidelijk een rechthoek.

____________________________________________________

Als gegeven is dat $GHEF$ een rechthoek is:

We zien eenvoudig dat

$\angle GFE = 90^{\circ} = \angle AFG + \angle AFE$

Dus ook dat $\angle AFG = 90^{\circ} - \angle ACB$

Ook waar is volgende uitspraak

$\angle FGH = 90^{\circ} = \angle AGF + \angle AGH$

Dus ook de volgende: $\angle AGF = 90^{\circ} - \angle ACB = \angle AFG$

Dus is opnieuw

$\left|AF\right| = \left|AC\right|= \left|CF\right|$

En hieruit volgt dat $\angle ACF = 60^{\circ} = \angle ACB - \angle ABC$

Klaar! :smile: