combinatoriek 1

In een universiteit zijn er 10001 studenten. Sommige studenten komen samen om clubs te vormen (een student kan tot meerdere clubs behoren). Sommige clubs komen samen om gemeenschappen te vormen (een club kan tot meerdere gemeenschappen behoren). Er zijn in totaal $k$ gemeenschappen. Veronderstel dat de volgende eigenschappen gelden:
(i) Iedere twee studenten zit precies in één club allebei.
(ii) Voor iedere student en iedere gemeenschap geldt dat de student precies in één club van die gemeenschap zit.
(iii) Iedere club heeft een oneven aantal studenten. Daarenboven, een club met $2m+1$ studenten ($m$ een natuurlijk getal) behoort tot precies $m$ gemeenschappen.
Vind alle mogelijke waarden van $k$.