IMOSL 2001

Vraag 1 Opgelost!

Zij $A_1$ het midden van het vierkant ingeschreven in de scherphoekige driehoek $ABC$ met twee hoekpunten van het vierkant op de zijde $BC$ en dus de twee andere op $AB$ en $AC$. De punten $B_1$ en $C_1$ worden analoog gedefinieerd voor de ingeschreven vierkanten met twee hoekpunten op $AC$ en $AB$ respectievelijk. Bewijs dat de rechten $AA_1,BB_1,CC_1$ concurrent zijn.

Vraag 2

In scherphoekige driehoek $ABC$, met midden van de ingeschreven cirkel $O$ en hoogte $AP$, is $\angle C\geq\angle B+30^\circ$. Bewijs dat $\angle A+\angle COP<90^\circ$.

Vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek met zwaartepunt $G$. Bepaal, met bewijs, de positie van het punt $P$ in het vlak van $ABC$ zodat $AP\cdot AG+BP\cdot BG+CP\cdot CG$ minimaal is, en druk deze minimumwaarde uit in termen van de zijdelengtes van $\triangle ABC$.

Vraag 4

Zij $M$ een inwendig punt van driehoek $ABC$. Zij $A'$ een punt op $BC$ met $MA'$ loodrecht op $BC$. Definieer analoog $B'$ op $CA$ en $C'$ op $AB$. Definieer
$$p(M)=\frac{MA'\cdot MB'\cdot MC'}{MA\cdot MB\cdot MC}.$$
Bepaal, met bewijs, de locatie van $M$ waarvoor $p(M)$ maximaal is. Zij $\mu(ABC)$ deze maximumwaarde. Voor welke driehoeken $ABC$ is de waarde $\mu(ABC)$ maximaal?

Vraag 5

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek. Zij $DAC,EAB,FBC$ gelijkbenige driehoeken aan het uitwendige van $ABC$, met $DA=DC,EA=EB$ en $FB=FC$ zodat
$$\angle ADC=2\angle BAC,\quad\angle BEA=2\angle ABC,\quad\angle CFB=2\angle ACB.$$
Zij $D'$ het snijpunt van de rechten $DB$ en $EF$, $E'$ het snijpunt van de rechten $EC$ en $DF$, en $F'$ het snijpunt van $FA$ en $DE$. Vind, met bewijs, de waarde van de som
$$\frac{DB}{DD'}+\frac{EC}{EE'}+\frac{FA}{FF'}.$$

Vraag 6

Zij $ABC$ een driehoek en $P$ een uitwendig punt in het vlak van de driehoek. Veronderstel dat de rechten $AP,BP,CP$ de rechten $BC,CA,AB$ snijden in $D,E,F$ respectievelijk. Veronderstel verder dat de oppervlakte van de driehoeken $PBD,PCE,PAF$ allemaal gelijk zijn. Bewijs dat ieder van deze oppervlaktes gelijk is aan de oppervlakte van de driehoek $ABC$ zelf.

Vraag 7

Zij $O$ een inwendig punt van de driehoek $ABC$. Zij $A_1$ een punt op $BC$ met $OA_1$ loodrecht op $BC$. Definieer $B_1$ op $CA$ en $C_1$ op $AB$ analoog. Bewijs dat $O$ het midden van de omgeschreven cirkel van $ABC$ is als en slechts als de omtrek van de driehoek $A_1B_1C_1$ niet kleiner is dan één van de omtrekken van $AB_1C_1,BC_1A_1$ en $CA_1B_1$.

Vraag 8

Zij $ABC$ een driehoek met $\angle BAC=60^\circ$. Zij $AP$ de bissectrice van $\angle BAC$ en $BQ$ de bissectrice van $\angle ABC$, met $P$ op $BC$ en $Q$ op $AC$. Als $AB+BP=AQ+QB$, wat zijn dan de hoeken van de driehoek?

Vraag 9

Bewijs dat er geen natuurlijk getal $n$ bestaat zodat, voor $k=1,2,\ldots,9$, het meest linkse cijfer (in de decimale voorstelling) van $(n+k)!$ gelijk is aan $k$.

Vraag 10

Beschouw het stelsel $x+y=z+u,2xy=zu$. Vind de grootst mogelijke waarde van de constante $m$ zodat $m\leq x/y$ voor elke oplossing $(x,y,z,u)$ in natuurlijke getallen van het stelsel, met $x\geq y$.

Vraag 11

Zij $a_1=11^{11},a_2=12^{12},a_3=13^{13}$ en $a_n=|a_{n-1}-a_{n-2}|+|a_{n-2}-a_{n-3}|,n\geq4$. Bepaal $a_{14^{14}}$.

Vraag 12

Zij $p\geq5$ een priemgetal. Bewijs dat er een natuurlijk getal $a$ bestaat met $1\leq a\leq p-2$ zodat noch $a^{p-1}-1$ noch $(a+1)^{p-1}-1$ deelbaar is door $p^2$.

Vraag 13

Zij $a>b>c>d$ natuurlijke getallen met
$$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).$$
Bewijs dat $ab+cd$ niet priem is.

Vraag 14

Is het mogelijk om 100 natuurlijke getallen te vinden, niet hoger dan 25000, zodat alle paarsgewijze sommen verschillend zijn?

Vraag 15

Zij $T$ de verzameling van alle geordende drietallen $(p,q,r)$ van natuurlijke getallen. Vind alle functies $f \colon T\rightarrow\mathbb R$ zodat $$f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{als } pqr = 0, \\[.1in] 1 + \frac{1}{6}(f(p+1,q-1,r) + f(p- 1,q+1,r) & \\ +
f(p-1,q,r+1) + f(p+1,q,r-1) & \\ + f(p,q+1,r-1) + f(p,q-1,r+1))
&
\text{als }pqr\not=0.
\end{cases}$$

Vraag 16

Zij $a_0,a_1,a_2,\ldots$ een willekeurige oneindige rij van positieve getallen. Toon aan dat de ongelijkheid $1+a_n>a_{n-1}\sqrt[n]2$ opgaat voor oneindig veel natuurlijke getallen $n$.

Vraag 17

Zij $x_1,x_2,\ldots,x_n$ willekeurige reële getallen. Bewijs de ongelijkheid
$$\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\cdots+ \frac{x_n}{1+x_1^2+\cdots+x_n^2}<\sqrt n.$$

Vraag 18

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan
$$f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y)$$
voor alle reële $x,y$.

Vraag 19

Vind alle rijen van natuurlijke getallen $a_1,a_2,\ldots$ zodat
$$\frac{99}{100}=\frac{a_0}{a_1}+\frac{a_1}{a_2}+\cdots +\frac{a_{n-1}}{a_n},$$
met $a_0=1$ en $(a_{k+1}-1)a_{k-1}\geq a_k^2(a_k-1)$ voor $k=1,2,\ldots,n-1$.

Vraag 20 Opgelost!

Bewijs dat voor alle positieve reële getallen $a,b,c$ geldt dat
$$\frac a{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac b{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac c{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1.$$

Vraag 21

Zij $A=(a_1,a_2,\ldots,a_{2001})$ een rij van natuurlijke getallen. Zij $m$ het aantal deelrijen van drie elementen $(a_i,a_j,a_k)$ met $1\leq i < j < k\leq2001$, zodat $a_j=a_i+1$ en $a_k=a_j+1$. Als je alle dergelijke $A$ beschouwt, wat is dan de grootste waarde van $m$.

Vraag 22

Zij $n$ een oneven natuurlijk getal groter dan 1 en $c_1,c_2,\ldots,c_n$ gehele getallen. Voor iedere permutatie $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ van $\{1,2,\ldots,n\}$ definiëren we $\displaystyle{S(a)=\sum_{i=1}^nc_ia_i}$. Bewijs dat er - voor iedere a - een permutatie $b\not=a$ van $\{1,2,\ldots,n\}$ bestaat zodat $n!$ een deler is van $S(a)-S(b)$.

Vraag 23

Definieer een $k$-kliekje als een verzameling van $k$ mensen zodat ieder tweetal van hen kennissen zijn. Op een bepaald feestje, heeft ieder paar van 3-kliekjes minstens 1 persoon gemeen, en zijn er geen 5-kliekjes. Bewijs dat er 2 of minder personen zijn op dat feestje, van wie hun vertrek ervoor zorgt dat er geen 3-kliekjes meer overblijven.

Vraag 24

Een verzameling van drie natuurlijke getallen $\{x,y,z\}$ wordt historisch genoemd als $\{z-y,y-x\}=\{1776,2001\}$. Toon aan dat de verzameling van de natuurlijke getallen kan geschreven worden als de unie van disjuncte historische verzamelingen.

Vraag 25

Vind alle eindige rijen $(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ zodat voor iedere $j$,$0\leq j\leq n$, $x_j$ gelijk is aan het aantal keer dat $j$ voorkomt in de rij.

Vraag 26

Voor een natuurlijk getal $n$ zeggen we dat een rij van nullen en enen gebalanceerd is als ze $n$ nullen en $n$ enen bevat. Twee gebalanceerde rijen $a$ en $b$ worden buren genoemd als je één van de $2n$ symbolen van $a$ naar een andere positie kan verplaatsen om $b$ te vormen. Bijvoorbeeld, met $n=4$, de gebalanceerde rijen $01101001$ en $00110101$ zijn buren, aangezien je de derde (of vierde) nul in de eerste rij naar de eerste of tweede positie kan verplaatsen om de tweede rij te vormen. Bewijs dat er een verzameling $S$ is van maximum $\displaystyle{\frac1{n+1}{2n\choose n}}$ gebalanceerde rijen zodat iedere gebalanceerde rij gelijk is aan of een buur is van minstens één rij van $S$.

Vraag 27

Een stapel van $n$ kiezelsteentjes wordt in een vertikale kolom geplaatst. Deze configuratie is volgens de volgende regels opgesteld. Een kiezelsteentje kan verplaatst worden als het bovenaan een kolom ligt die minstens twee kiezelsteentjes meer bevat dan de kolom rechts ervan (als daar geen kiezelsteentjes liggen, mag je dit beschouwen als een kolom met 0 kiezelsteentjes). In iedere fase kies je een kiezelsteentje dat beweegbaar is, en verplaats je het naar de top van de kolom rechts ervan. Als er geen kiezelsteentjes meer verplaatst kunnen worden, noemen we dat een finale configuratie. Voor iedere $n$, toon aan dat, ongeacht welke keuzes er gemaakt worden in iedere fase, de finale configuratie uniek is. Omschrijf deze configuratie in termen van $n$.

Vraag 28

21 meisjes en 21 jongens deden mee in een wiskunde-competitie. Het bleek dat iedere deelnemer maximum zes problemen had opgelost, en voor iedere 2 deelnemers bestaande uit een jongen en een meisje, was er minstens één probleem dat zowel door de jongen als het meisje was opgelost. Toon aan dat er een probleem was dat opgelost werd door minstens drie jongens en drie meisjes.