meetkunde 1
Opgave - IMOSL 2001 vraag 1
Zij $A_1$ het midden van het vierkant ingeschreven in de scherphoekige driehoek $ABC$ met twee hoekpunten van het vierkant op de zijde $BC$ en dus de twee andere op $AB$ en $AC$. De punten $B_1$ en $C_1$ worden analoog gedefinieerd voor de ingeschreven vierkanten met twee hoekpunten op $AC$ en $AB$ respectievelijk. Bewijs dat de rechten $AA_1,BB_1,CC_1$ concurrent zijn.
- login om te reageren
Oplossing
Contrueer uitwendig een vierkant op zijde $BC$.
Het is duidelijk dat er en homothetie bestaat met centrum $A$ die het ingeschreven vierkant met middelpunt $A_1$ op het nieuw geconstrueerde vierkant afbeeldt. Bijgevolg zijn $A,A_1$ en $D$ collineair. Analoog voor de andere zijden van de driehoek, en we verkrijgen dat het probleem equivalent is met bewijzen dat $AD,BE$ en $CF$ concurrent zijn.
Dit is eenvoudig aan te tonen. We weten door de sinusregel immers dat $$\frac{\sin{BAD}}{\sin{DAC}}=\frac{\sin{(B+\frac{\pi}{4})}}{\sin{(C+\frac{\pi}{4})}}$$
en $$\frac{\sin{CBE}}{\sin{EBA}}=\frac{\sin{(C+\frac{\pi}{4})}}{\sin{(A+\frac{\pi}{4})}}$$
en
$$\frac{\sin{ACF}}{\sin{FCB}}=\frac{\sin{(A+\frac{\pi}{4})}}{\sin{(B+\frac{\pi}{4})}}$$
Het product van deze drie verhoudingen is gelijk aan $1$, dus is er wegens de goniometrische vorm van Ceva aangetoond wat aangetoond moest worden.