IMOSL 2017
Dag 1
Vraag 1
Zij $a_1,a_2,\ldots a_n,k$, en $M$ natuurlijke getallen ($>0$) zodat
$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=k\quad\text{en}\quad a_1a_2\cdots a_n=M.$$
Als $M>1$, bewijs dat de veelterm
$$P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$
geen positieve wortels heeft.
Vraag 4
Een rij reële getallen $a_1,a_2,\ldots$ voldoet aan de relatie
$$a_n=-\max_{i+j=n}(a_i+a_j)\qquad\text{voor alle}\quad n>2017.$$
Bewijs dat de rij begrensd is, i.e. er een constante $M$ bestaat zodat $|a_n|\leq M$ geldt voor elke $n$.
Vraag 5
Een geheel getal $n \geq 3$ is gegeven. We noemen een $n$-tal van reële getallen $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ Shiny als voor elke permutatie $y_1, y_2, \dots, y_n$ van die getallen, er geldt dat
$$\sum \limits_{i=1}^{n-1} y_i y_{i+1} = y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_4 + \cdots + y_{n-1}y_n \geq -1.$$
Vind de grootste constant $K = K(n)$ zodat
$$\sum \limits_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j \geq K$$
geldt voor elk Shiny $n$-tal $(x_1, x_2, \dots, x_n)$.
Vraag 6
Vind alle functies $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ zodat voor elke $x,y \in \mathbb R$ geldt dat $$f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).$$
Vraag 8
Een functie $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ geeft de eigenschap
$$\text{Voor elke } x,y \in \mathbb{R} \text{ zodat }(f(x)+y)(f(y)+x) > 0, \text{ hebben we } f(x)+y = f(y)+x.$$
Bewijs dat $f(x)+y \leq f(y)+x$ als $x>y$.
Dag 2
Vraag 1
Een rechtoek $R$ met oneven zijdelengten wordt verdeeld in kleine recthoeken, waarvan de zijden ook telkens gehele lengte hebben.
Bewijs dat er altijd minstens één kleine rechthoek is, zodat de afstand tot de vier zijden van $R$ allen even, of allen oneven zijn.
Vraag 4
Zij gegeven een geheel getal $N$ > $2$. Een groep van $N(N +1)$ voetballers, allemaal van
verschillende lengte, staat op een rij. De bondscoach wil $N(N-1)$ voetballers uit deze rij verwijderen zodat een rij van $2N$ voetballers overblijft die aan de volgende $N$ voorwaarden voldoet:
(1) er staat niemand tussen de twee langste voetballers,
(2) er staat niemand tussen de op twee na langste en de op drie na langste voetballer,
$\ldots$
(N) er staat niemand tussen de twee kortste voetballers.
Bewijs dat dit altijd mogelijk is.
Vraag 5
Een jager en een onzichtbaar konijn spelen een spel in het euclidisch vlak. Het startpunt
$A_0$ van het konijn en het startpunt $B_0$ van de jager zijn gelijk. Na $n-1$ rondes van het spel is het konijn in punt $A_{n-1}$ en de jager in punt $B_{n-1}$. In de $n^{de}$ ronde van het spel gebeuren er achtereenvolgens drie dingen.
$(i)$ Het konijn verplaatst zich onzichtbaar naar een punt $A_n$ zodanig dat de afstand tussen $A_{n-1}$ en $A_n$ precies $1$ is.
$(ii)$ Een traceersysteem rapporteert een punt $P_n$ aan de jager. De enige garantie die het traceersysteem de jager biedt, is dat de afstand tussen $P_n$ en $A_n$ hoogstens $1$ is.
$(iii)$ De jager verplaatst zich zichtbaar naar een punt $B_n$ zodanig dat de afstand tussen $B_{n-1}$ en $B_n$ precies $1$ is.
Is het voor de jager altijd mogelijk om ongeacht hoe het konijn zich verplaatst en welke punten
het traceersysteem rapporteert zijn verplaatsingen zodanig te kiezen dat na $10^9$ rondes de afstand tussen hem en het konijn hoogstens $100$ zal zijn?
Dag 3
Vraag 1
Voor elk geheel getal $a_0 > 1$, definieren we de rij $a_0, a_1, a_2, \ldots$ voor $n \geq 0$ als
$$a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{als } \sqrt{a_n} \text{ is geheel,} \\
a_n + 3 & \text{anders.}
\end{cases}
$$
Bepaal alle waarden van $a_0$ zodat er een getal $A$ bestaat zodat $a_n = A$ voor oneindig veel waarden van $n$.
Vraag 5
Vind alle paren van priemgetallen $(p,q)$ zodat $p>q$ en $$\frac{(p+q)^{p+q}(p-q)^{p-q}-1}{(p+q)^{p-q}(p-q)^{p+q}-1}$$ geheel is.
Vraag 6
Vind het kleinste natuurlijke getal $n$ of bewijs dat er geen zo'n getal bestaat, waarvoor er oneindig veel $n$-tallen van rationale getallen $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ bestaaan zodat
$$a_1+a_2+\dots +a_n \quad \text{en} \quad \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$$ beide geheel zijn.
Vraag 7
Een geordend paar gehele getallen $(x, y)$ is een primitief roosterpunt als de grootste
gemene deler van $x$ en $y$ gelijk aan $1$ is. Gegeven een eindige verzameling $S$ van primitieve roosterpunten, bewijs dat er een (strikt) positief geheel getal $n$ en gehele getallen $a_0, a_1, \ldots , a_n$ bestaan zodanig dat voor alle $(x, y)$ in $S$ geldt dat $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$
Vraag 8
Zij $p>2$ een priemgetal. Veronderstel dat een functie $f\colon \mathbb{Z}_{>0}\times\mathbb{Z}_{>0}\to\{0,1\}$ voldoet aan de volgende eigenschappen:
- $f(1,1)=0$.
- $f(a,b)+f(b,a)=1$ voor elk paar strikt positieve gehele getallen $a,b$ die relatief priem zijn en niet beide gelijk aan $1$;
- $f(a+b,b)=f(a,b)$ voor elk paar strikt positieve gehele getallen $a,b$ die relatief priem zijn.
Bewijs dat
$$\sum_{n=1}^{p-1}f(n^2,p) \ge \sqrt{2p}-2.$$
Dag 4
Vraag 1
Zij $ABCDE$ een convexe vijfhoek met $|AB|=|BC|=|CD|$, $\angle{EAB}=\angle{BCD}$ en $\angle{EDC}=\angle{CBA}$. Bewijs dat de loodlijn van $E$ op $BC$ en de rechten $AC$ en $BD$ concurrent zijn.
Vraag 2
Laat R en S verschillende punten op een cirkel $\Omega$ zijn zodanig dat lijnstuk RS geen middellijn van $\Omega$ is. Zij $\ell$ de raaklijn aan $\Omega$ in R.
Zij punt T zodanig dat S het midden is van lijnstuk RT. Het punt J ligt op de korte boog RS van
zodanig dat de omgeschreven cirkel $\Gamma$ van driehoek JST lijn $\ell$ snijdt in twee verschillende punten. Zij A het snijpunt van $\Gamma$ en $\ell$ dat het dichtst bij R
ligt. De lijn AJ snijdt $\Omega$ opnieuw in K. Bewijs dat lijn KT raakt aan $\Gamma$.
Vraag 3
Zij $O$ en $H$ het omcentrum en hoogtepunt respectievelijk van de scherphoekige driehoek $ABC$ . De rechte $OA$ snijdt de hoogtelijnen van $ABC$ door $B$ en $C$ in $P$ en $Q$ respectievelijk. Bewijs dat het omcentrum van de driehoek $PQH$ op de zwaartelijn van driehoek $ABC$ ligt.
Vraag 4
Zij $\omega$ de aangeschreven cirkel tegenover hoekpunt $A$ van een driehoek $ABC$.
Zij $D, E$ en $F$ de punten waar $\omega$ raakt aan $BC, CA$ en $AB$ respectievelijk.
De omgeschreven cirkel van $\triangle AEF$ snijdt $BC$ in $P$ en $Q.$
Zij $M$ het middelpunt van $[AD].$
Bewijs dat de omgeschreven cirkel van $MPQ$ raakt aan $\omega.$
Vraag 5 Opgelost!
Zij $ABCC_1B_1A_1$ een convexe zeshoek zodat $|AB|=|BC|$,en veronderstel dat de lijnstukken $AA_1, BB_1$ en $CC_1$ allen dezelfde middelloodlijn hebben. Zij $D$ het snijpunt van de diagonalen $AC_1$ en $A_1C$ en zij $\omega$ de omcirkel van $ABC$, deze snijdt de cirkel $A_1BC_1$ opnieuw in $E \neq B$. Bewijs dat de rechten $BB_1$ en $DE$ snijden op $\omega$.
Vraag 6
Zij $n\ge3$ een natuurlijk getal. Twee regelmatige $n$-hoeken $\mathcal{A}$ en $\mathcal{B}$ in het vlak, zijn gegeven. Bewijs dat de hoekpunten van $\mathcal{A}$ die in$\mathcal{B}$ of op zijn rand liggen, opeenvolgend zijn.
Equivalent; bewijs dat er een rechte getrokken kan worden die de hoekpunten van $\mathcal{A}$ die in $\mathcal{B}$ of op de rand liggen, scheidt van de andere hoekpunten van $\mathcal{A}$.
Vraag 7
Een convexe vierhoek $ABCD$ heeft een ingeschreven cirkel met (in)centrum $I$. Zij $I_a, I_b, I_c$ en $I_d$ de incentra van de driehoeken $DAB, ABC, BCD$ en $CDA$, respectivelijk. Veronderstel dat de gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen van de cirkels $AI_bI_d$ en $CI_bI_d$ snijden in $X$, de gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen van de cirkels $BI_aI_c$ en $DI_aI_c$ snijden in $Y$. Bewijs dat $\angle{XIY}=90^{\circ}$.
Vraag 8
Er zijn $2017$ paarsgewijs uitwendige (geen cirkel ligt binnen een andere cirkel), cirkels getekend op een bord. Dit op zo'n manier dat geen $2$ cirkels een punt gemeen hebben en geen $3$ cirkels een zelfde raaklijn hebben.
Een raaklijnstuk is een lijnstuk die op een gemeenschappelijke raaklijn van twee cirkels ligt met eindpunten gelijk aan de raakpunten met de cirkels.
Luc tekent raaklijnstukken op het bord, één per keer, zodat geen twee zo'n raaklijnstukken elkaar snijden. Hij blijft dit doen tot hij geen meer kan tekenen.
Vind elk mogelijk aantal raaklijnstukken dat hij getekend kan hebben op het moment dat hij stopt.
