combinatie van ongelijkheid en functievergelijking

Zij $p>2$ een priemgetal. Veronderstel dat een functie $f\colon \mathbb{Z}_{>0}\times\mathbb{Z}_{>0}\to\{0,1\}$ voldoet aan de volgende eigenschappen:

• $f(1,1)=0$.
• $f(a,b)+f(b,a)=1$ voor elk paar strikt positieve gehele getallen $a,b$ die relatief priem zijn en niet beide gelijk aan $1$;
• $f(a+b,b)=f(a,b)$ voor elk paar strikt positieve gehele getallen $a,b$ die relatief priem zijn.

Bewijs dat
$$\sum_{n=1}^{p-1}f(n^2,p) \ge \sqrt{2p}-2.$$