IMOSL 2000
Vraag 1
Een goochelaar heeft 100 kaarten, genummerd van 1 tot en met 100. Hij stopt ze in drie dozen, een rode, een witte en een blauwe, zodat iedere doos minimum één kaart bevat. Iemand uit het publiek trekt twee kaarten uit twee verschillende dozen (1 uit elk) en zegt luidop de som van de getallen op die kaarten. Met enkel deze informatie, weet de goochelaar te zeggen uit welke doos er geen kaart getrokken is. Op hoeveel verschillende manieren kan hij de 100 kaarten in de drie dozen steken zodat de truc werkt?
Vraag 2
Een trapvormige doos met 3 treden van breedte 2 is gemaakt uit 12 eenheidskubusjes. Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ waarvoor het mogelijk is om een kubus met zijde $n$ te maken als je slechts beschikt over dergelijke bouwstenen.
Vraag 3
Zij $n\geq4$ een natuurlijk getal. Gegeven een verzameling $S=\{P_1,\ldots,P_n\}$ van $n$ punten in het vlak, zodat er geen drie collineair zijn en geen vier op een cikel liggen, zij $a_t$ met $1\leq t\leq n$ het aantal verschillende cirkels $P_iP_jP_k$ die $P_t$ in hun inwendige hebben, en zij $m(S)=a_1+\cdots+a_t$. Bewijs dat er een natuurlijk getal $f(n)$ bestaat, enkel afhankelijk van $n$, zodat de punten van $S$ de hoekpunten van een convexe veelhoek zijn als en slechts als $m(S)=f(n)$.
Vraag 4
Zij $n$ en $k$ natuurlijke getallen zodat $n/2 \leq k\leq2n/3$. Vind de kleinst mogelijke waarde $m$ waarvoor het mogelijk is om $m$ pionnen op een $n\times n$ schaakbord te plaatsen zodat er geen enkele rij of kolom een blok van $k$ aaneengrenzende onbezette vierkantjes bevat.
Vraag 5
In een vlak hebben we $n$ rechthoeken met parallelle zijden. De zijden van verschillende rechthoeken liggen op verschillende rechten. De grenzen van de rechthoeken snijden het vlak in verschillende (samenhangende) regio's. Men zegt dat een regio aangenaam is als die minstens één van de hoekpunten van de originele rechthoeken op zijn grenzen heeft. Bewijs dat de som van het aantal hoekpunten van alle aangename regio's minder is dan $40n$ (niet-convexe regio's zijn toegelaten, de rest van het vlak buiten je figuur telt ook als regio).
Vraag 6
Zij $p$ en $q$ onderling ondeelbaar. Een verzameling $S\subset\mathbb N\cup\{0\}$ wordt ideaal genoemd als $0\in S$ en als uit $n\in S$ volgt dat $n+p\in S$ en $n+q\in S$. Vind het aantal ideale verzamelingen.
Vraag 7
Zij $a,b,c$ positieve reële getallen zodat $abc=1$. Bewijs dat
$$\left(a-1+\frac1b\right)\left(b-1+\frac1c\right)\left(c-1+\frac1a\right) \leq1.$$
Vraag 8
Zij $a,b,c$ natuurlijke getallen met $b>2a,c>2b$. Zij $f(x)=x-\lfloor x \rfloor$. Toon aan dat er een reëel getal $\lambda$ bestaat met de eigenschap dat $f(\lambda a),f(\lambda b),f(\lambda c)\in]1/3,2/3]$.
Vraag 9
Vind alle koppels $(f,g)$ van functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R,g\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$$ voor alle reële $x,y$.
Vraag 10
De functie $f\mathbb N\cup\{0\}\rightarrow\mathbb N\cup\{0\}$ voldoet aan volgende voorwaarden voor alle $n\in\mathbb N\cup\{0\}$:
(i) $f(4n)=f(2n)+f(n)$,
(ii) $f(4n+2)=f(4n)+1$,
(iii) $f(2n+1)=f(2n)+1$.
Bewijs dat voor ieder natuurlijk getal $m$, het aantal natuurlijke getallen $n$ met $0\leq n<2^m$ en $f(4n)=f(3n)$ gelijk is aan $f(2^{m+1})$.
Vraag 11
Zij $n\geq2$ een natuurlijk getal en $\lambda$ een positief reëel getal. Oorspronkelijk bevinden er zich $n$ vlooien op een horizontale rechte, niet allemaal op hetzelfde punt. Een beweging gaat als volgt: je kiest twee vlooien op punten $A$ en $B$, met $A$ links van $B$, en de vlo van $A$ laat je over $B$ springen naar een $C$ waarvoor $BC/AB=\lambda$. Bepaal alle waarden van $\lambda$ zodat, voor eender welk punt $M$ op de rechte en voor eender welke oorspronkelijke positie van de $n$ vlooien, er een eindige rij van bewegingen bestaat zodat alle vlooien zich rechts van $M$ bevinden.
Vraag 12
Een niet-lege verzameling $A$ van reële getallen wordt een $B_3$-verzameling genoemd als, gegeven zes getallen $a_1,\ldots,a_6$, uit $a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_6$ volgt dat $(a_1,a_2,a_3)$ en $(a_4,a_5,a_6)$ op een permutatie na gelijk zijn. Zij $(a_n),(b_n)$ twee (oneindige) stijgende rijen met $a_0=b_0=0$. Zij $D(X)=\{|x-y|,x,y\in X\}$ de verschilverzameling van een verzameling $X$. Bewijs dat als $D({a_n})=D({b_n})$ en $A$ een $B_3$-verzameling is, dan $A=B$.
Vraag 13
Voor een veelterm van graad 2000, met verschillende reële coëfficiënten, zij $M(P)$ de verzameling van alle veeltermen die kunnen geproduceerd worden vanuit $P$ door een permutatie van zijn coëfficiënten. Een veelterm wordt $n$-onafhankelijk genoemd als $P(n)=0$ en we van eender welke $Q$ uit $M(P)$ een veelterm $Q_1$ kunnen bekomen zodat $Q_1(n)=0$ door maximum één paar van coëfficiënten te wisselen van $Q$. Vind alle gehele getallen $n$ waarvoor $n$-onafhankelijke veeltermen bestaan.
Vraag 14
Bepaal alle natuurlijke getallen $n\geq2$ die voldoen aan de volgende voorwaarde: voor alle $a$ en $b$ onderling ondeelbaar met $n$ hebben we dat $a\equiv b\pmod n$ als en slechts als $ab\equiv1\pmod n$.
Vraag 15 Opgelost!
Voor een natuurlijk getal $n$, zij $d(n)$ het aantal verschillende positieve delers van $n$. Vind alle natuurlijke getallen $n$ zodat $d(n)^3=4n$.
Vraag 16
Bestaat er een natuurlijk getal $n$ zodat $n$ precies 2000 priemdelers heeft en $n|2^n+1$?
Vraag 17
Bepaal alle drietallen $(a,m,n)$ van natuurlijke getallen zodat $a^m+1|(a+1)^n$.
Vraag 18
Bewijs dat er oneindig veel natuurlijke getallen $n$ bestaan zodat $p=nr$, met $p$ en $r$ respectievelijk de halve omtrek en de straal van de ingeschreven cirkel een driehoek met gehele zijdelengtes.
Vraag 19
Toon aan dat de verzameling van de natuurlijke getallen die niet kunnen voorgesteld worden als de som van verschillende volkomen kwadraten eindig is.
Vraag 20
In het vlak zijn twee cirkels gegeven die snijden in de punten $X$ en $Y$. Bewijs dat er vier punten bestaan met de volgende eigenschap: voor iedere cirkel die de twee gegeven cirkels raakt in $A$ en $B$, en die de rechte $XY$ in $C$ en $D$ snijdt, passeert ieder van de rechten $AC,AD,BC,BD$ door één van deze punten.
Vraag 21 Opgelost!
Twee cirkels $G_1$ en $G_2$ snijden in $M$ en $N$. Zij $AB$ de rechte die raakt aan beide cirkels in $A$ en $B$ respectievelijk, zodat $M$ dichter bij $AB$ ligt dan $N$. Zij $CD$ de rechte parallel met $AB$ die door $M$ gaat en $C$ op $G_1$ en $D$ op $G_2$. De rechten $AC$ en $BD$ snijden in $E$; de rechten $AN$ en $CD$ snijden in $P$; de rechten $BN$ en $CD$ snijden in $Q$. Toon aan dat $EP=EQ$.
Vraag 22
Zij $O$ het midden van de omgeschreven cirkel en $H$ het hoogtepunt van een scherphoekige driehoek $ABC$. Toon aan dat er punten $D,E,F$ bestaan op de zijden $BC,CA,AB$ respectievelijk, zodat $OD+DH=OE+EH=OF+FH$, en de rechten $AD,BE$ en $CF$ concurrent zijn.
Vraag 23
Zij $A=A_1A_2\ldots A_n$ een convexe $n$-hoek, $n\geq4$. Bewijs dat $A$ cyclisch is als en slechts als men aan ieder hoekpunt $A_i$ een koppel $(b_i,c_i)$ van reële getallen kan toekennen zodat $A_iA_j=b_jc_i-b_ic_j$, $1\leq i De raaklijnen in $B$ en $A$ aan de omgeschreven cirkel van een scherphoekige driehoek $ABC$ snijden de raaklijn in $C$ in $T$ en $U$ respectievelijk. $AT$ snijdt $BC$ in $P$ en $Q$ is het midden van $AP$. $BU$ snijdt $CA$ in $R$ en $S$ is het midden van $BR$. Bewijs dat $\angle ABQ=\angle BAS$. Bepaal, in termen van verhoudingen van de zijdelengtes, de driehoek waarvoor deze hoek maximaal is. Zij $ABCD$ een convexe vierhoek met $AB$ niet parallel aan $CD$, en $X$ een inwendig punt zodat $\angle ADX=\angle BCX<90^\circ$ en $\angle DAX=\angle CBX<90^\circ$. Als $Y$ het snijpunt is van de middelloodlijnen van $AB$ en $CD$, bewijs dan dat $\angle AYB=2\angle ADX$. Tien gangsters staan op een vlakke ondergrond, en de onderlinge afstanden tussen hen zijn allemaal verschillend. Om klokslag twaalf schiet iedere gangster de dichtstbijzijnde andere gangster neer. Wat is het minimumaantal vermoorde gangsters? Zij $AH_1,BH_2,CH_3$ de hoogtelijnen van een scherphoekige driehoek $ABC$. De ingeschreven cirkel raakt de zijden $BC,AC,AB$ in $T_1,T_2,T_3$ respectievelijk. Beschouw de spiegelbeelden van de rechten $H_1H_2,H_2H_3,H_3H_1$ ten opzichte van de rechten $T_1T_2,T_2T_3,T_3T_1$. Bewijs dat deze beelden een driehoek vormen waarvan de hoekpunten op de ingeschreven cirkel van $ABC$ liggen.Vraag 24
Vraag 25
Vraag 26
***
Hoeveel personen sterven maximaal?Vraag 27
