IMOSL 1999
Vraag 1 Opgelost!
Vind alle koppels natuurlijke getallen $(x,p)$ met $p$ een priemgetal, $x\leq p$ en $x^{p-1}|(p-1)^x+1$.
Vraag 2
Bewijs dat ieder rationaal getal kan geschreven worden in de vorm
$$\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}$$
met $a,b,c,d$ natuurlijke getallen.
Vraag 3
Bewijs dat er twee (strikt) stijgende rijen $a_n$ en $b_n$ bestaan zodat $a_n(a_n+1)|b_n^2+1$ voor alle $n$.
Vraag 4
Noteer met $S$ de verzameling van alle priemgetallen zodat de decimale voorstelling van $1/p$ een periode heeft die deelbaar is door 3. Voor iedere $p\in S$ zodat de periode van $1/p$ gelijk is aan $3r$ schrijven we: $1/p=0,a_1\ldots a_{3r}a_1\ldots a_{3r}a_1\ldots$, met $r=r(p)$. Voor ieder natuurlijk getal $k$ definiëren we $f(k,p)$ als $f(k,p)=a_k+a_{k+r}+a_{k+2r}$.
(i) Bewijs dat $S$ oneindig is.
(ii) Vind de grootste waarde voor $f(k,p)$ voor $k$ een natuurlijk getal en $p\in S$.
Vraag 5
Zij $n\leq k$ twee natuurlijke getallen zodat $n$ niet deelbaar is door 3. Bewijs dat er een natuurlijk getal $m$ bestaat dat deelbaar is door $n$ en met de som der cijfers in de decimale voorstelling gelijk aan $k$.
Vraag 6
Bewijs dat er voor ieder reëel getal $M$ een oneindige rekenkundige rij van natuurlijke getallen bestaat zodat de som v.d. cijfers van elk getal groter is dan $M$ en zodat het verschil van twee opeenvolgende getallen niet deelbaar is door 10.
Vraag 7
Zij $ABC$ een driehoek en $M$ een inwendig punt. Bewijs dat
$$\min(MA,MB,MC)+MA+MB+MC\leq AB+BC+CA.$$
Vraag 8
Een cirkel wordt een verdeler van een verzameling van vijf punten genoemd als hij door drie van de punten gaat en de andere twee punten elk aan verschillende kant heeft. Bewijs dat iedere verzameling van vijf verschillende punten, waarvan er geen drie collineair zijn en geen vier concyclisch, precies vier verdelers heeft.
Vraag 9
Een eindige verzameling $S$ van punten in de ruimte wordt volledig symmetrisch genoemd als ze minstens drie elementen bezit en voor elke twee verschillende punten $A$ en $B$ is het middelloodvlak van het lijnstuk $[AB]$ een symmetrievlak van $S$. Vind alle compleet symmetrische verzamelingen.
Vraag 10
Voor een driehoek $ABC$ nemen we het punt $X$ op de zijde $AB$ zodat $AX/XB=4/5$, het punt $Y$ op $CX$ zodat $CY=2YX$ en, indien mogelijk, het punt $Z$ op de halfrechte $CA$ (met $C$ beginpunt) zodat $\angle CXZ=180^\circ-\angle ABC$. We noteren met $S$ de verzameling van alle driehoeken waarvoor $\angle XYZ=45^\circ$. Bewijs dat alle driehoeken in $S$ gelijkvormig zijn en vind hun kleinste hoek.
Vraag 11 Opgelost!
Zij $ABC$ een driehoek, $Q$ zijn ingeschreven cirkel en $Q_a,Q_b,Q_c$ drie orthogonale cirkels op $Q$ die door $(B,C),(A,C),(A,B)$ respectievelijk gaan. De cirkels $Q_a$ en $Q_b$ snijden opnieuw in $C'$. Analoog bekomen we de punten $A'$ en $B'$. Bewijs dat de straal van de omgeschreven cirkel van $\triangle A'B'C'$ gelijk is aan de helft van de straal van $Q$.
Vraag 12
Twee cirkels $U$ en $V$ raken de cirkel $W$ inwendig en het middelpunt van $V$ ligt op $U$. De gemeenschappelijke koorde van de cirkels $U$ en $V$ snijdt $W$ in $A$ en in $B$. $MA$ en $MB$ snijden $U$ in $C$ en in $D$ respectievelijk. Bewijs dat $V$ raakt aan $CD$.
Vraag 13
Het punt $M$ ligt binnen de convexe vierhoek $ABCD$ zodat $MA=MC$, $\angle AMB=\angle MAD+\angle MCD$ en $\angle CMD=\angle MCB+\angle MAB$. Bewijs dat $AB\cdot CM=BC\cdot MD$ en $BM\cdot AD=MA\cdot CD$.
Vraag 14
De punten $A,B,C$ verdelen de omgeschreven cirkel $Q$ van een driehoek $ABC$ in drie bogen. Zij $X$ een variabel punt op de boog $AB$ en $O_1$ en $O_2$ de middens van de ingeschreven cirkel van respectievelijk $\triangle CAX$ en $\triangle CBX$. Bewijs dat de omgeschreven cirkel van driehoek $XO_1O_2$ $Q$ snijdt in een vast punt.
Vraag 15
Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 1. Vind de kleinste constante $C$ zodat de ongelijkheid
$$\sum_{1\leq i
Vraag 16
De getallen van 1 tot en met $n^2$ worden willekeurig in een $n\times n$ vierkant geschreven. Voor ieder koppel getallen in dezelfde rij of kolom wordt de verhouding tussen het grootste en het kleinste getal berekend. We definiëren de karakteristiek van deze schikking als het kleinste getal van deze $n^2(n-1)$ verhoudingen. Wat is de hoogst mogelijke waarde van deze karakteristiek?
[merk op: $n^2(n-1)=2n\frac{n(n-1)}{2}$]
Vraag 17
Een spel wordt gespeeld door $n$ meisjes (minimum twee), en ze hebben elk een bal. Ieder van de $\displaystyle{\binom n2}$ koppels spelers wisselen de ballen uit in een willekeurige volgorde. Het spel wordt leuk genoemd als niemand eindigt met haar oorspronkelijke bal, en het spel wordt saai genoemd als iedereen eindigt met haar oorspronkelijke bal. Bepaal de waarden van $n$ waarvoor er een leuk spel bestaat, en de waarden van $n$ waarvoor er een saai spel bestaat.
Vraag 18
Bewijs dat de verzameling van de natuurlijke getallen niet kan verdeeld worden in drie niet-lege verzamelingen zodat voor iedere $x$ en $y$ van verschillende verzamelingen, het getal $x^2-xy+y^2$ tot de derde verzameling behoort.
Vraag 19
Bepaal alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb R$ geldt dat
$$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1.$$
Vraag 20
Voor $n\geq3$ en $a_1\leq\ldots\leq a_n$ gegeven reële getallen hebben we de volgende instructies:
(a) plaats de getallen in een bepaalde volgorde op een ring;
(b) verwijder één van de getallen op de ring;
(c) als er slechts twee nummers overschieten, zij $S$ de som van deze twee getallen. Indien dit niet zo is, vervang ieder getal door de som van het getal en het volgende getal op de ring. Start nadien terug met stap (b).
Toon aan dat de grootste som $S$ die we zo kunnen bekomen gelijk is aan
$$S=\sum_{k=2}^n\binom{n-2}{\left[\frac k2\right]-1}a_k.$$
Vraag 21
Zij $n$ een natuurlijk getal. Een pad van $(0,0)$ tot $(n,n)$ in het $xy$-vlak is een aaneenschakeling van opeenvolgende eenheidsbewegingen ofwel naar rechts (die we een E-beweging noemen) ofwel naar boven (die we een N-beweging noemen), en alle bewegingen bevinden zich in het halfvlak $x\geq y$. Een stap in een pad is het voorkomen van twee opeenvolgende bewegingen van het type EN. Bewijs dat het totaal aantal dergelijke paden die precies $s$ stappen gegeven wordt door de formule
$$\frac1s\binom{n-1}{s-1}\binom n{s-1}.$$
Vraag 22
(a) Als een $5\times n$ betegeld kan worden met $n$ stukken zoals getoond in de tekening, dan is $n$ even (tekening vereist).
(b) Toon aan dat er meer dan $2\cdot 3^{k-1}$ manieren zijn om een vaste $5\times2k$ rechthoek te betegelen met $2k$ dergelijke tegels (spiegelingen en rotaties worden als verschillend beschouwd).
Vraag 23
Een bioloog bestudeert een kameleon. De kameleon vangt vliegen en rust na iedere vangst. De bioloog noteerde:
- de eerste vlieg werd gevangen na een rustperiode van 1 minuut;
- de rustperiode voor het vangen van de $2m^\text e$ vlieg is dezelfde als de rustperiode voor het vangen van de $m^\text e$ vlieg en 1 minuut korter dan de rustperiode voor het vangen van de $(2m+1)^\text e$ vlieg;
- wanneer de kameleon stopt met rusten, vangt hij onmiddellijk opnieuw een vlieg.
(a) Hoeveel vliegen heeft de kameleon gevangen voor zijn eerste rustperiode van negen minuten aan een stuk?
(b) Na hoeveel minuten zal de kameleon zijn 98e vlieg vangen?
(c) Hoeveel vliegen zal de kameleon hebben gevangen na 1999 minuten?
Vraag 24
Zij $A$ een verzameling van $N$ resten modulo $N^2$. Bewijs dat er een verzameling $B$ bestaat van $N$ resten modulo $N^2$ zodat de verzameling $A+B$ op zijn minst de helft van alle resten modulo $N^2$ bevat.
Vraag 25
Zij $n$ een even natuurlijk getal. We zeggen dat twee verschillende cellen van een $n\times n$ bord buren zijn als ze een zijde gemeenschappelijk hebben. Vind het minimum aantal cellen op het $n\times n$ bord dat moet gekleurd worden zodat iedere cel een gekleurde buur zou hebben.
Vraag 26
Veronderstel dat ieder geheel getal één van de kleuren rood, blauw, geel of groen gegeven wordt. Zij $x$ en $y$ oneven gehele getallen met verschillende absolute waarde. Bewijs dat er twee gehele getallen bestaan van dezelfde kleur waarvan het verschil één van de volgende waarden heeft: $x,y,x+y,x-y$.
Vraag 27
Zij $p$ een priemgetal groter dan 5. Voor iedere niet-lege deelverzameling $T$ van $\{0,\ldots,p-1\}$ stellen we $E(T)$ gelijk aan de verzameling van alle $(p-1)$-tallen $(x_i)\ i=1,\ldots,p-1$ met iedere $x_i\in T$ en $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p-1}ix_i}$ deelbaar door $p$. Bewijs dat $|E(\{0,1,3\})|\geq|E(\{0,1,2\})|$.
