getaltheorie 1

Geval 1
Stel eerst $x=1$: nu kan $p$ alle mogelijke priemgetallen zijn. Een eerste oplossing is dus al $(1,p)$. Vanaf nu nemen we $x > 1$.

Geval 2
Stel nu dat $p$ even is en dus gelijk aan 2. Dan geldt $x\mid 2$ en aangzien $x > 1$ moet dus $x=2$ en dus hebben we een tweede oplossing: $(2,2)$.

Geval 3
Vanaf nu nemen we $p$ oneven. Merk op dat hieruit volgt dat ook $x$ oneven moet zijn en dus enkel oneven priemdelers heeft.

Neem de kleinste priemdeler $q$ van $x$.
Dan geldt dat $q\mid (p-1)^x+1$ en dus $(p-1)^x\equiv -1\pmod{q}$.
Ook geldt dat $(p-1)^{2x}\equiv 1\pmod{q}$. Laat nu $w$ de orde zijn van $p-1\pmod{q}$.
Nu geldt dat $w\mid 2x$ maar niet dat $w\mid x$. Maar ook geldt dat $w\mid q-1$ wegens Fermat en omdat $q$ de kleinste priemdelers was, zal uit $w $<$q$ volgen dat $q=2$.
Hieruit volgt dat $(p-1)^2\equiv 1\pmod{q}$
$\Rightarrow p(p-2)\equiv 0\pmod{q}$. Als $q\mid p-2$ dan is echter in de opgave $LHS\equiv 0\pmod{q}$ en $RHS\equiv 2\pmod{q}$ en dus zou $q$ even moeten zijn maar $x$ is oneven, contradictie. Bijgevolg geldt dat $q\mid p$ en dus is $q=p$ omdat $p$ en $q$ priem zijn.
Daar $p=q\mid x\le p$ geldt dat $x=p$

Wegens LTE toegepast op de opgave moet gelden dat $p-1=v_p(p^{p-1})\le v_p((p-1)^p+1)=v_p(p)+v_p(p)=2$
Hieruit volgt direct dat $p=3$. Deze beide oplossingen kloppen.

Alle gevallen samenvattend vinden we:
"De oplossingen voor $(x,p)$ zijn dus $(1,p),(2,2),(3,3)$."