meetkunde 5

Zijn $X$, $Y$ en $Z$ de punten waar $Q$ raakt aan $BC$, $CA$ en $AB$. Het is voldoende om te bewijzen dat $Q_a$ door de middens van $XY$ en $XZ$ gaat, want dan is $\triangle A'B'C'$ de driehoek die gevormd wordt door de middens van de zijden van $\triangle XYZ$, zodat de stral van de omgeschreven cirkel van $\triangle A'B'C'$ inderdaad gelijk is aan de helft van de straal van de omgeschreven cirkel van $\triangle XYZ$, of nog, de helft van de straal van $Q$. Zijn $U$, $V$ en $W$ de middens van $YZ$, $ZX$ en $XY$. We bewijzen eerst dat $B$, $C$, $V$ en $W$ op een cirkel liggen. Dat is niet moeilijk, want $W$ ligt op $CI$, $V$ ligt op $BI$, en $IW \cdot IC = IX^2 = IV \cdot IB$. De macht van $I$ ten opzichte van de cirkel door $B$, $C$, $V$ en $W$ is dus gelijk aan $r^2$, met $r$ de straal van de ingeschreven cirkel. Maar daaruit volgt natuurlijk direct dat deze cirkel en de ingeschreven cirkel orthogonaal zijn, dus we zijn klaar.