IMOSL 2009
Dag 1
Vraag 1
Vind de grootste $k$, zodat er altijd geldt dat:
Als er $2009$ gewone driehoeken gegeven zijn (niet-ontaarde driehoeken). In iedere driehoek zijn de zijden rood, wit en blauw gekleurd. Voor ieder kleur rangschikken we de lengtzes van klein naar groot:
$$\left. \begin{array}{rcl}
& b_1 \leq b_2\leq\ldots\leq b_{2009} & \textrm{lengten van blauwe zijden }\\
& r_1 \leq r_2\leq\ldots\leq r_{2009} & \textrm{rode }\\
\textrm{en } & w_1 \leq w_2\leq\ldots\leq w_{2009} & \textrm{voor witte zijden }\\
\end{array}\right.$$
Dan bestaan er k nummers j zodat $b_j,w_j,r_j$ terug een driehoek vormen.
Vraag 2
$a,b,c > 0$ zodat $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a+b+c$. Bewijs dat
$$\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(a+2b+c)^2}+\frac{1}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3}{16}$$
Vraag 3
Vind alle functies $f \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, zodat $\forall a, b \in \mathbb{N} $ geldt dat er een niet-ontaarde driehoek bestaat met lengten
$ a, f(b) \text{ en } f(b + f(a) - 1).$
Vraag 4
Zij $a$, $b$, $c$ reële getallen zodat $ab+bc+ca\leq 3abc$. Bewijs dat
$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\leq \sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)$
Vraag 5
Zij $f$ een functie $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, bewijs dat er $x,y \in \mathbb{R}$ bestaan waarvoor geldt dat $f\left(x-f(y)\right)>yf(x)+x$
Vraag 6
Zij $ s_1,s_2,s_3, \ldots$ een strikt stijgende rij van natuurlijke getallen zodat de subrijen $ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots$ en $ s_{s_1 + 1},s_{s_2 + 1},s_{s_3 + 1},\ldots$ beiden rekenkundige rijen zijn. Bewijs dat de rij$ s_1,s_2,s_3, \ldots$ zelf een rekenkundige rij is.
Vraag 7
Vind alle functies $f\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ die voldoet aan
$\forall x,y \in \mathbb{R}$ $f\left(xf(x+y)\right) = f\left(yf(x)\right) +x^2$
Vraag 8
Een rij van $2009$ kaarten, die elk een gouden en een zwarte zijde hebben, ligt op tafel.
Bij het begin liggen alle kaarten met hun gouden zijde naar boven. Twee spelers, spelen een spel waarbij afwisselend $50$ opeenvolgende kaarten worden gekozen waarvan de meest linkse kaart met goud boven lag en draait hierbij die $50$ kaarten om.
Bepaal of dit spel altijd eindigt en wie er een winnende strategie heeft/ altijd kan winnen?
Vraag 9
Voor een geheel getal $n\geq 2$, noemen we $N(n)$ het maximum aantal triples $(a_i, b_i, c_i)$, $i=1, \ldots, N(n)$, bestaande uit natuurlijke getallen $a_i$, $b_i$ en $c_i$ zodat geldt dat:
$a_i+b_i+c_i=n \forall i \in \{1, \ldots, N(n)\}$,
als $i\neq j$ geldt $a_i\neq a_j$, $b_i\neq b_j$ en $c_i\neq c_j$
Vind $N(n).$
Vraag 10
Zij $n \in \mathbb{N}$ en $n>2$ .
Gegeven is een rij $\epsilon_1$, $\dots$, $\epsilon_{n - 1}$ waarbij geldt dat $\epsilon_i = 0$ of $\epsilon_i = 1$ $\forall i \in \{ 1$, $\dots$, $n - 1\}$, de rijen $a_0$, $\dots$, $a_n$ en $b_0$, $\dots$, $b_n$ zijn geconstrueerd met volgende regels:
$a_0 = b_0 = 1$, $a_1 = b_1 = 7$,
$a_{i + 1} =$
$2a_{i - 1} + 3a_i, \text{als} \ \epsilon_i = 0, $
$3a_{i - 1} + a_i, \text{als} \ \epsilon_i = 1,$
$\forall i \in \{ 1$, $\dots$, $n - 1\}$
$b_{i + 1} = $
$2b_{i - 1} + 3b_i, \text{als} \ \epsilon_{n - i} = 0, $
$3b_{i - 1} + b_i, \text{als} \ \epsilon_{n - i} = 1,$
$\forall i \in \{ 1$, $\dots$, $n - 1\}$
Bewijs dat $a_n = b_n$.
Vraag 11
$m \in \mathbb{N}$ is $\ge 1.$
We hebben een schaakbord met zijden van lengte $2^m$ die we verdelen in rechthoeken, zodat alle $2^{2m}$ cellen bedekt zijn door rechthoeken en ieder vakje op $1$ bepaalde diagonaal een aparte rechthoek vormt: een vierkant van $1$ op $1.$
Bepaal de kleinst mogelijke som van de omtrekken van alle rechthoeken bij zo'n verdeling.
Vraag 12 Opgelost!
$5$ Lege emmers met een inhoud van $2$ liter staan op de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek. Assepoester en haar boze stiefmoeder voeren afwisselend een stap uit. De stiefmoeder mag bij haar stap telkens $1$ liter water verdelen over de $5$ emmers zoals ze wil. Daarna mag Assepoester $2$ emmers die naast elkaar staan kiezen en ledigen. Indien een emmer kan overlopen door de stiefmoeder wint ze, in het andere geval Assepoester, wie heeft een winnende strategie?
Vraag 13
We hebben een $999*999$ bord waarop we een stuk plaatsen die op de volgende manier beweegt:
het kan naar een ander vlakje gaan van het bord als de 2 vierkanten een zijde gemeenschappelijk hebben
en iedere stap staat loodrecht op de vorige (men stapt dus nooit in $1$ keer over een $1*3$rechthoek).
Men wil een zo lang mogelijke cyclus maken,waarbij men ieder vlakje slechts 1 keer bewandelt en eiindigt bij het eerste vlakje (een gesloten kring dus).
Hoeveel vakken kan die cyclus maximaal bevatten?
Vraag 14
Zij $n$ een natuurlijk getal en zij $a_1,a_2,\cdots, a_n$ verschillende natuurlijke getallen zijn. Er zijn $n-1$ getallen tussen $1$ en $\sum_{i=1}^{i=n}a_i -1$ gekozen in de verzameling $M$ waar mensen hem willen vangen.
De sprinkhaan start in het punt $0$ en maakt $n$ sprongen met de lengten $a_1$ tot $a_n$, bewijs dat hij die volgorde kan kiezen zodat hij nergens wordt gevangen in een punt van $M.$
Vraag 15
$\forall n \in \mathbb{N}$ wordt $h(n)$ berekend als volgt ($r$ is het laatste cijfer van $n$):
*als $r=0$ dan is $h(n)=\frac n {10}$
*als $r>0$ wordt $R$ het grootste getal rechts met enkel digits $\ge r$ en $L$ de rest.
$h(n)=L\overbrace{R-1}\overbrace{R-1}$
Bewijs dat er een $k$ bestaat zodat $h^k(n)=1.$
***
vb. $(176)=17575.$
Vraag 18
De ingeschreven cirkel van $\triangle{ABC}$ raakt de zijden $AB,AC$ resp. in $Z,Y.$
We vormen paralellograms $BCYR,BCSZ.$
Bewijs dat $|GR|=|GS|$ waarbij $G$ het snijpunt is van $BY$ met $CZ.$
Vraag 22
Zij $\triangle{ABC}$ een driehoek met $I$ als centrum van de ingeschreven cirkel en $X$, $Y$ en $Z$ de middelpunten van de ingeschreven cirkels van $\triangle{BIC$, $\triangle{CIA$ en $\triangle{AIB}$ resp. Als de driehoek $XYZ$ gelijkzijdig is, bewijs dat $\triangle{ABC}$ dat ook is.
Vraag 23
$ABCD$ is een vierhoek waarin een cirkel past die de $4$ zijden raakt.
$g$ is een lijn door $A$ die $BC,CD$ snijdt in $M,N.$
$I_1,I_2,I_3$ zijn de incentra van $\triangle ABM,\triangle MNC, \triangle NDA$ resp.
Bewijs dat het hoogtepunt van $I_1I_2I_3$ op $g$ ligt.
Vraag 24
$n \in \mathbb{N}$ en zij $a_1,a_2,\cdots,a_k$ $k\ge 2$ verschillende getallen uit $\{1,2\cdots,n\}$ zijn zodat $n|a_i(a_{i+1}-1)$ $\forall i \in \{1,2,\cdots, k-1\}$ bewijs dat $n \not|a_k (a_1 -1).$
Vraag 25
We noemen een getal speciaal als het $1$ is of geschreven kan worden als het product van een even aantal priemgetallen (deze moeten niet noodzakelijk verschillend zijn, vb. aantal van $48=5$).
$a,b$ zijn constante natuurlijke getallen en we definiëren $P(x)=(x+a)(x+b).$
$1$
Bewijs dat er $a,b$ bestaan zodat $P(1),P(2)\cdots P(50)$ speciale veeltermen zijn.
$2$
Bewijs dat als $P(n)$ $\forall n \in \mathbb{N}.$ altijd speciaal is, dan $a=b.$
Vraag 26
$\forall a,b \in \mathbb{N}$ geldt $(a-b)|f(a)-f(b)$
waarbij $f$ geen constante functie is.
Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn, die een deler zijn van een functiewaarde.
Vraag 30
$a,b>1$ met $a \not =b$ zijn natuurlijke getallen, bewijs dat er een natuurlijk getal $n$ bestaat zodat $(a^n-1)(b^n-1)$ geen volkomen kwadraat is.
