IMOSL 1997

Vraag 1

Een oneindig raster is gekleurd in een schaakbord-patroon. Voor elk koppel natuurlijke getallen $m,n$ beschouwen we een rechthoekige driehoek met zijn hoekpunten op de rasterpunten en waarvan de benen $m,n$ langs de lijnen van het raster gaan. Zij $b$ en $w$ de oppervlakte van respectievelijk het witte en het zwarte gedeelte van het raster binnen de driehoek. Definieer $f(m,n)=|b-w|$. Bereken $f(m,n)$ voor alle getallen $m$ en $n$ van dezelfde pariteit. Bewijs dat $f(m,n)\leq\max(m,n)/2$. Bewijs ook dat $f(m,n)$ niet naar boven begrensd is.

Vraag 2

Definieren we een rij van rijen als volgt: $R_1=1$ en als $R_{n-1}=(a_1,\ldots,a_s)$, dan is $R_n=(1,2,\ldots,a_1,1,2,\ldots,a_2,1,2,\ldots,\ldots,1,2,\ldots,a_s,n)$. Bijvoorbeeld, $R_2=(1,2)$ en $R_3=(1,1,2,3)$. Bewijs dat als $n>1$, dan is de $k$-de term van links in de rij $R_n$ gelijk aan 1 als en slechts als de $k$-de term van rechts in de rij $R_n$ verschillend is van 1.

Vraag 3

Voor iedere eindige verzameling $U$ van vectoren, verschillend van de nulvector, in het vlak, definiëren we door $l(U)$ de lengte van de vector die de som is van alle vectoren in $U$. Gegeven een eindige verzameling $V$ van vectoren in het vlak. We noemen een deelverzameling $B\subset V$ maximaal als $l(B)$ groter dan of gelijk is aan $l(A)$ voor eender welke deelverzameling $A\subset V$. Construeer verzamelingen van 4 en 5 vectoren die 8 en 10 maximale deelverzamelingen respectievelijk hebben. Toon aan dat, voor iedere verzameling van $n$ vectoren in het vlak, het aantal maximale deelverzamelingen van deze verzamelingen kleiner of gelijk is aan $2n$.

Vraag 4

Een $n\times n$ matrix met elementen $\{1,2,\ldots,2n-1\}$ wordt een covermatrix genoemd als voor iedere $i$ de unie van de $i$-de rij en de $i$-de kolom $2n-1$ verschillende elementen bevat. Toon aan dat er geen covermatrix bestaat voor $n=1997$ en dat er oneindig veel covermatrices bestaan.

Vraag 5

Zij $ABCD$ een regelmatig viervlak met $M$ en $N$ verschillende punten in de vlakken $ABC$ en $ADC$ respectievelijk. Toon aan dat de lijnstukken $MN,BN$ en $MD$ de zijdelengtes van een driehoek zijn.

Vraag 6

Zij $n$ een natuurlijk getal. Bewijs dat er verschillende gehele getallen $x,y,z$ zodat $x^{n-1}+y^n=z^{n+1}$. Zij $a,b,c$ drie natuurlijke getallen zodat $a$ en $b$ onderling ondeelbaar zijn en $c$ onderling ondeelbaar is met ofwel $a$ of $b$. Bewijs dat er oneindig veel drietallen $(x,y,z)$ van verschillende natuurlijke getallen bestaan zodat $x^a+y^b=z^c$.

Vraag 7 Opgelost!

Zij $ABCDEF$ een convexe zeshoek zodat $AB=BC,\ CD=DE,\ EF=FA$. Bewijs dat
$$\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+ \frac{FA}{FC} \geq\frac32$$
en vind wanneer gelijkheid optreedt.

Vraag 8

Vier verschillende punten $A,B,C,D$ worden gekozen op een cirkel $G$ zodat de driehoek $BCD$ niet rechthoekig is. Bewijs dat de middelloodlijnen van $AB$ en $AC$ de rechten $AD$ in $W$ en $V$ snijden en dat de rechten $CV$ en $BW$ snijden in een bepaald punt $T$. Bewijs ook dat de lengte van één van de lijnstukken $AD,BT,CT$ gelijk is aan de som van de andere twee.

Vraag 9 Opgelost!

Zij $A_1A_2A_3$ een niet-gelijkbenige driehoek met centrum van ingeschreven cirkel $I$. Zij $C_i$ de kleinere cirkel door $I$ die raakt aan $A_iA_{i+1}$ en $A_iA_{i+2}$. Zij $B_i$ het tweede snijpunt van de cirkels $C_{i+1}$ en $C_{i+2}$. Bewijs dat de centra van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $A_iB_iI$ collineair zijn.

Vraag 10

Vind alle natuurlijke getallen $k$ waarvoor de volgende stelling waar is: als $F(x)$ een veelterm is met gehele coëfficiënten die voldoet aan de voorwaarde $0\leq F(c)\leq k$ voor iedere $c\in\{0,1,\ldots,k+1\}$, dan $F(0)=F(1)=\ldots=F(k+1)$.

Vraag 11

Zij $P(x)$ een veelterm met reële coëfficiënten zodat $P(x)>0$ voor alle positieve waarden van $x$. Bewijs dat er een natuurlijk getal $n$ bestaat zodat $(1+x)^nP(x)$ een veelterm is met positieve coëfficiënten.

Vraag 12 Opgelost!

Zij $p$ een priemgetal en $f(x)$ een veelterm van graad $d$ met gehele coëfficiënten zodat $f(0)=0$ en $f(1)=1$ en voor ieder natuurlijk getal $n$ is de rest bij deling van $f(n)$ door $p$ gelijk aan 0 of 1. Bewijs dat $d\geq p-1$.

Vraag 13 Opgelost!

In een stad $A$ zijn er $n$ jongens en $n$ meisjes, en ieder meisje kent iedere jongen. In een stad $B$ zijn er $n$ meisjes en $2n-1$ jongens zodat ieder meisje $i$ de jongens $1,2,\ldots,2i-1$ kent, en enkel deze jongens. Voor alle $r\in\{1,2,\ldots,n\}$ noteren we met $A(r)$ en $B(r)$ het aantal verschillende manieren waar $r$ meisjes van stad $A$ en $B$ respectievelijk kunnen dansen met $r$ jongens van hun eigen stad, en zo $r$ koppels vormen waar het meisje de jongen kent. Bewijs dat $A(r)=B(r)$.

Vraag 14

Zij $b,m,n$ natuurlijke getallen zodat $b>1$ en $m\not=n$. Bewijs dat als $b^m-1$ en $b^n-1$ dezelfde priemdelers hebben, dan $b+1$ dan een macht van 2 is.

Vraag 15

Een oneindige rekenkundige rij van natuurlijke getallen bevat een volkomen kwadraat van een natuurlijk getal en een derdemacht van een natuurlijk getal (maar niet noodzakelijk van hetzelfde getal). Toon aan dat het een zesdemacht van een natuurlijk getal bevat.

Vraag 16

In een scherphoekige driehoek $ABC$, zij $AD,BE$ de hoogtes en $AP,BQ$ inwendige bissectrices uit $A$ en $B$. Stel $I$ en $O$ de centra van de ingeschreven en de omgeschreven cirkel respectievelijk, van driehoek $ABC$. Bewijs dat $D,E,I$ collineair zijn als en slechts als $P,Q,O$ collineair zijn.

Vraag 17 Opgelost!

Vind alle koppels $x,y\geq1$ van natuurlijke getallen die voldoen aan $x^{(y^2)}=y^x$.

Vraag 18 Opgelost!

De hoogtes door de hoekpunten $A,B,C$ van een scherphoekige driehoek $ABC$ snijden de tegenoverliggende zijdes in $D,E,F$. De rechte door $D$ parallel met $EF$ snijdt de rechten $AC$ en $AB$ in $Q$ en $R$ respectievelijk. De rechte $EF$ snijdt $BC$ in $P$. Bewijs dat de omgeschreven cirkel van $PQR$ door het midden van $BC$ gaat.

Vraag 19 Opgelost!

Zij $a_1\geq\ldots\geq a_n\geq a_{n+1}=0$ een rij van reële getallen. Bewijs dat
$$\sqrt{\sum_{k=1}^na_k}\leq\sum_{k=1}^n\sqrt k\left(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}}\right).$$

Vraag 20 Opgelost!

Zij $D$ een punt op de zijde $BC$ van de driehoek $ABC$. De rechte $AD$ snijdt de omgeschreven cirkel van $ABC$ opnieuw in $X$. Zij $P,Q$ de voetpunten van de loodrechten uit $X$ op $AB$ en $AC$ respectievelijk. Zij $\gamma$ de cirkel met diameter $XD$. Bewijs dat de rechte $PQ$ raakt aan $\gamma$ als en slechts als $|AB|=|AC|$.

Vraag 21

Zij $x_1,\ldots,x_n$ reële getallen zodat $|x_1+\cdots+x_n|=1$ en $\displaystyle{|x_i|\leq\frac{n+1}2}$ voor alle $i$. Bewijs dat er een permutatie $\sigma$ bestaat zodat
$$\left|\sum_{i=1}^nix_{\sigma(i)}\right|\leq\frac{n+1}2.$$

Vraag 22

Bestaan er functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ en $g\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat voor alle $x\in\mathbb R$ geldt dat $f(g(x))=x^2$ en $g(f(x))=x^3$? Wat voor $f(g(x))=x^2$ en $g(f(x))=x^4$?

Vraag 23

Zij $ABCD$ een convexe vierhoek en $O$ het snijpunt van zijn diagonalen. Als $OA\cdot\sin\hat A+OC\cdot\sin\hat C=OB\cdot\sin\hat B+OD\cdot\sin\hat D$, bewijs dan dat $ABCD$ cyclisch is.

Vraag 24

Voor een natuurlijk getal $n$ definiëren we met $f(n)$ het aantal voorstelling van $n$ als een som van natuurlijke machten van 2. Voorstellingen waar de volgorde van de termen verschillend is worden als gelijk beschouwd. Bijvoorbeeld $f(4)=4$ aangezien $4=4=2+2=2+1+1=1+1+1+1$. Bewijs dat
$$2^{n^2/4} < f(2^n) < 2^{n^2/2}.$$

Vraag 25 Opgelost!

De bissectrices van de hoeken $A,B,C$ van driehoek $ABC$ snijden de omgeschreven cirkel opnieuw in de punten $K,L,M$. Zij $R$ een punt op de zijde $AB$. $P$ is het snijpunt van de rechte door $R$ die parallel is met $AK$ en de rechte door $B$ loodrecht op $BL$. $Q$ is het snijpunt van de rechte door $R$ parallel met $BL$ en de rechte door $A$ loodrecht op $AK$. Toon aan dat de rechten $KP,LQ,MR$ concurrent zijn.

Vraag 26

Bepaal voor ieder natuurlijk getal $n\geq2$ de minimumwaarde van de som $a_0+\cdots+a_n$ waarbij de positieve reële getallen $a_i$ voldoen aan de voorwaarden $a_0=1$ en $a_i\leq a_{i+1}+a_{i+2}$.