zeshoek
Opgave - IMOSL 1997 vraag 7
Zij $ABCDEF$ een convexe zeshoek zodat $AB=BC,\ CD=DE,\ EF=FA$. Bewijs dat
$$\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+ \frac{FA}{FC} \geq\frac32$$
en vind wanneer gelijkheid optreedt.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
De clue is dat je naar $\triangle ACE$ moet kijken. Volgens Ptolemaeus is $AC \cdot BE \leq AB \cdot CE + BC \cdot AE$ dus $\frac{BC}{BE} \geq \frac{AC}{CE + EA}$. We krijgen zo via Nesbitt dat $\frac{BC}{BE} + \frac{DE}{DA} + \frac{FA}{FC} \geq \frac{AC}{CE + EA} + \frac{CE}{EA + AC} + \frac{EA}{AC + CE} \geq \frac32$.