hoogtelijnen

Deze vraag vind ik een echt pareltje :)

Zij $M$ het midden van $BC$. We moeten bewijzen dat $DP \cdot DM = DQ \cdot DR$. Merk op dat $\triangle AQR$ en $\triangle ACB$ allebei gelijkvormig zijn met $\triangle AEF$. Bijgevolg liggen de punten $B$, $C$, $Q$ en $R$ op een cirkel. Het volstaat dan natuurlijk om te bewijzen dat $DP \cdot DM = DB \cdot DC$. Je kan nu verschillende kanten op. Ik vind de volgende manier wel leuk omdat hij eigenlijk een algemener resultaat aantoont: merk op dat $B$, $C$, $D$ en $P$ een harmonisch puntenviertal vormen. In principe moet alles vanaf nu met georiënteerde lengten, maar daar heb ik even geen zin in, dus neem aan dat $P$, $B$, $D$ en $C$ in die volgorde collineair zijn. Er geldt $BD \cdot PC = BP \cdot CD$. Noem $PB = x$, $BD = y$ en $CD = z$. Dan is $DM = \frac12 (z - y)$ en $CM = \frac12 (z + y)$. We weten dat $xz = y(x + y + z)$ en wat we moeten bewijzen is dat $(x + y) \frac12(z - y) = yz$. Maar dat is equivalent met $xz - xy + yz - y^2 = 2yz$ of $xz = y(x + y + z)$ en we zijn klaar. Een andere methode is de volgende: merk op dat $D$, $E$, $F$, $M$ op de negenpuntscirkel liggen en pas de machtsstelling toe. Zo kom je er ook, opnieuw met een klein beetje rekenwerk. Maar ik vind het algemenere bewijs met het harmonisch viertal leuker.