collineaire centra

Opgave - IMOSL 1997 vraag 9

Zij $A_1A_2A_3$ een niet-gelijkbenige driehoek met centrum van ingeschreven cirkel $I$. Zij $C_i$ de kleinere cirkel door $I$ die raakt aan $A_iA_{i+1}$ en $A_iA_{i+2}$. Zij $B_i$ het tweede snijpunt van de cirkels $C_{i+1}$ en $C_{i+2}$. Bewijs dat de centra van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $A_iB_iI$ collineair zijn.

Oplossing

Pas inversie toe met als inversiecirkel de incirkel van $\triangle ABC$. Dan gaan de zijdes $A_i A_{i+1}$ over in een cirkel door $I$ met gelijke straal. Noem deze cirkels $\Gamma_{i+2}$ en hun middelpunten $M_{i+2}$. Verder gaan de $C_i$-tjes over in raaklijnen aan $\Gamma_{i+1}$ en $\Gamma_{i+2}$ (het maakt voor de rest van het bewijs niet uit om welke van de twee mogelijke raaklijnen gaat), noem de raaklijn $l_i$. Aangezien de straal van alle $\Gamma_i$ gelijk zijn ($\frac{r}{2}$) geldt dat $l_i \parallel M_{i+1}M_{i+2}$. Bovendien hebben de cirkels $\Gamma_i$ en $\Gamma_{i+1}$ nog een snijpunt, ongelijk $I$, namelijk $A'_{i+2}$. Zo hebben ook de lijnen $l_i$ en $l_{i+1}$ een snijpunt $B'_{i+2}$.
Nu zijn $M_i A'_{i+2} M_{i+1} I$ en $M_i A'_{i+1} M_{i+2} I$ parallelogrammen aangezien ze vier gelijke zijden hebben. Dus $A'_{i+2} M_{i+1} \parallel M_i I$ en $A'_{i+1} M_{i+2} \parallel M_i I$, oftewel $A'_{i+2} M_{i+1} \parallel A'_{i+1} M_{i+2}$ en $A'_{i+2} M_{i+1}A'_{i+1} M_{i+2}$ is ook een parallelogram ($A'_{i+2} M_{i+1}=A'_{i+1} M_{i+2}$). Hieruit volgt dat $A'_{i+2}A'_{i+1} \parallel M_{i+1}M_{i+2} \parallel B'_{i+1}B'_{i+2}$. Blijkbaar zijn $\triangle A'_iA'_{i+1}A'_{i+2}$ en $\triangle B'_iB'_{i+1}B'_{i+2}$ lijnperspectief (op de oneigenlijke rechte) en dus zijn ze volgens de stelling van Desargues puntperspectief. Of te wel de lijnen $A'_iB'_i$ zijn concurrent.
Wanneer men nu terug gaat naar de oorspronkelijke configuratie gaan de lijnen $A'_iB'_i$ over in de cirkel door $A_i$, $B_i$ en $I$ en blijkbaar hebben deze drie cirkels twee punten gemeen. Nu is het triviaal dat de centra van de omgeschreven cirkels van de driehoeken $A_iB_iI$ collineair zijn.
$\Box$
NB:Het maakt niet dat $C_i$ de kleinere cirkel is door $I$ die raakt aan $A_iA_{i+1}$ en $A_iA_{i+2}$. Blijkbaar gaan alle drie de grotere cirkels ook door het gemeenschappelijke punt.