rakende cirkel
Opgave - IMOSL 1997 vraag 20
Zij $D$ een punt op de zijde $BC$ van de driehoek $ABC$. De rechte $AD$ snijdt de omgeschreven cirkel van $ABC$ opnieuw in $X$. Zij $P,Q$ de voetpunten van de loodrechten uit $X$ op $AB$ en $AC$ respectievelijk. Zij $\gamma$ de cirkel met diameter $XD$. Bewijs dat de rechte $PQ$ raakt aan $\gamma$ als en slechts als $|AB|=|AC|$.
- login om te reageren
Oplossing
De projectie $R$ van $X$ op $BC$ ligt op de cirkel met diameter $XD$, maar ligt natuurlijk ook op de rechte $BC$ (rechte van Simson). We moeten dus aantonen dat de rechte $PQR$ raakt aan de omgeschreven cirkel van $\triangle XRD$, of nog, dat $\angle XDR = \angle XRQ$ (met georiënteerde hoeken). Maar
$$\begin{eqnarray} \angle XRQ & = & \angle XCQ \\ & =& \angle XCA \\ & =& \angle XCB + \angle BCA \\ & = &\angle XAB + \angle BCA \\ & = &\angle XAP + \angle BCA \\ & = & 90^\circ - \angle PXA + \angle BCA \\ & = & 90^\circ - \angle PXD + \angle BCA\\ & = & 90^\circ - \angle PXR - \angle RXD + \angle BCA \\ & = &\angle XDR - \angle PXR + \angle BCA \\ & =& \angle XDR - \angle PBR + \angle BCA \\ & = & \angle XDR - \angle ABC + \angle BCA \end{eqnarray}$$
en dus is $\angle XDR - \angle XRQ = \angle ABC - \angle BCA$. Daaruit volgt het resultaat onmiddellijk.