IrMO 1988

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Eén zijde van een piramide met een vierkant grondvlak en alle zijden gelijk aan 2 wordt met een zijvlak vastgeplakt aan een regelmatig viervlak met zijdelengte 2 om een nieuw veelvlak te vormen. Wat is de totale lengte van de ribben van dat veelvlak?

Vraag 2 Opgelost!

$P$ is een punt op de omgeschreven cirkel van vierkant $ABCD$ tussen $C$ en $D$. Bewijs dat
$$PA^2-PB^2=PB\cdot PD-PA\cdot PC.$$

Vraag 3 Opgelost!

$E$ is het midden van de boog $BC$ op de omgeschreven cirkel van de driehoek $ABC$ (op de tegenovergestelde kant van $BC$ ten opzichte van $A$). $DE$ is een diameter van die cirkel. Toon aan dat $\angle DEA$ gelijk is aan de helft van het verschil tussen $\angle B$ en $\angle C$.

Vraag 4 Opgelost!

De driehoek $ABC$ (met zijdelengtes $a,b,c$ zoals gewoonlijk) voldoet aan
$$\log(a^2)=\log(b^2)+\log(c^2)-\log(2bc\cos A).$$
Wat kunnen we zeggen over de driehoek?

Vraag 5

Zij $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Hoeveel zeventallen $(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6,X_7)$ zijn er zodat iedere $X_i$ een andere deelverzameling is van $X$ met drie elementen en de unie van de $X_i$ is $X$?

Dag 2

Vraag 1

Ieder lid van de rij $a_1,a_2,\ldots,a_n$ behoort tot de verzameling $\{1,2,\ldots,n-1\}$ en $a_1+a_2+\cdots+a_n<2n$. Toon aan dat we een deelrij kunnen vinden met som $n$.

Vraag 2 Opgelost!

Stel $f(x)=x^3-x$. Toon aan dat de verzameling van reële $A$ zodat voor een bepaalde reële $x$ geldt dat $f(x+A)=f(x)$ gelijk is aan het interval $[-2,2]$.

Vraag 3

De rij van reële getallen $x_1,x_2,x_3,\ldots$, allemaal verschillend van 0, voldoet aan $\displaystyle{x_n=\frac{x_{n-2}x_{n-2}}{2x_{n-2}-x_{n-1}}}$ voor alle $n>2$. Voor welke $(x_1,x_2)$ bezit de rij oneindig veel gehele getallen?

Vraag 4 Opgelost!

Het jaar 1978 had de eigenschap dat 19+78=97. Met andere woorden: de som van het getal gevormd door de eerste twee cijfers en het getal gevormd door de laatste twee cijfers, is het getal gevormd door de middenste twee cijfers. Vind het dichtste jaartal (aan beide kanten van 1978) met dezelfde eigenschap.

Vraag 5

Toon aan dat
$$(1+x)^n\geq(1-x)^n+2nx(1-x^2)^{\frac{n-1}2}$$
voor alle $0\leq x\leq1$ en alle natuurlijke getallen $n$.

Dag 3

Vraag 1

Gegeven een positief reëel getal $k$, voor welke reële $x_0$ convergeert de rij $x_0,x_1,x_2,\ldots$ gedefinieerd door $x_{n+1}=x_n(2-kx_n)$ naar $1/k$?

Vraag 2

Toon aan dat voor alle $n$ natuurlijke getallen geldt dat
$$\cos^4\frac\pi{2n+1}+\cos^4\frac{2\pi}{2n+1}+\cdots+ \cos^4\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{6n-5}{16}.$$

Vraag 3

$ABC$ is een driehoek waarvoor geldt dat $AB=2AC$ en $E$ is het midden van $AB$. Het punt $F$ ligt op de rechte $EC$ en het punt $G$ ligt op de rechte $BC$ zodat $A,F,G$ collineair zijn en $FG=AC$. Toon aan dat $AG^3=AB\cdot CE^2$.

Vraag 4

$a_1,a_2,\ldots,a_n$ is een rij van gehele getallen en $m

Vraag 5

In Gent zijn er $n>100$ bushaltes, en natuurlijk een aantal buslijnen tussen die haltes. Elke buslijn stopt in precies $12$ bushaltes, en voor elke twee bushaltes is er precies $1$ buslijn die in beide stopt. Bovendien hebben elke twee buslijnen precies 1 halte gemeen. Hoeveel buslijnen zijn er?

[De oorspronkelijke opgave had 11 in plaats van 12, maar amper een jaar later (1989) bewezen Lam, Swierch en Thiel met duizenden uren computerberekeningen het langbetwiste vermoeden dat er geen "projectief vlak van orde 10" (dergelijke structuur met 11 bussen per lijn) bestaat, vandaar de kleine aanpassing.]