speciale jaartallen

We zoeken dus een jaartal $abcd$ waarvoor geldt dat $ab + cd = bc$. (a,b,c,d zijn natuurlijk en liggen tussen 0 en 9)
We kunnen $abcd$ ook van de vorm $1000a + 100b + 10c + d$ schrijven, met $10a + b + 10c + d = 10b + c$.
$\Leftrightarrow d = -10a + 9b - 9c$.

a)
We zoeken eerst naar het dichtste jaartal kleiner dan $1978$ in de jaren $1900 - 1999$. $a$ zou dan $1$ zijn en $b$ $9$.
$\Leftrightarrow d = -10 + 81 - 9c \Leftrightarrow d = 71 - 9c$. De enige mogelijkheid waarbij $c$ en $d$ natuurlijk en tussen $0$ en $9$ liggen is als $c=7$ $\Leftrightarrow d=8$ (anders liggen ze niet allebei tussen $0$ en $9$).

We zoeken naar het grootst mogelijk jaartal in de jaren $1800 - 1899$.
Dan is $a$ $1$ en $b$ $8$.
$\Leftrightarrow d = -10 + 72 - 9c \Leftrightarrow d = 62 - 9c$
Er is maar een mogelijkheid waarbij $c$ en $d$ tussen $0$ en $9$ liggen, nml. als $c=6$ en $d=8$. Het dichtste jaartal dat kleiner is dan $1978$ met dezelfde eigenschap is $1868$. Controle: $18+68=86$ wat klopt.

b)
We zoeken nu naar het dichtste jaartal groter dan $1978$.
We weten al dat $1978$ het enige jaartal in $1900-1999$ is met de eigenschap, dus zal er in deze periode niet nog zo'n jaartal zijn.

Het is onmogelijk dat er een jaartal is in $2000-2199$ met die eigenschap omdat het getal gevormd door de 2 middelste cijfers dan met een $0$ of $1$ begint, wat in ieder geval kleiner zal zijn dan de som van het getal gevormd door de 2 eerste cijfers en het getal gevormd door de twee laatste cijfers omdat het getal gevormd door de 2 eerste cijfers met een $2$ zal beginnen, waardoor de som groter of gelijk aan 20 of 21 zal zijn, wat niet kan.

We zoeken naar zo'n getal in $2200-2299$. Dan zal $a=2$ en $b=2$ $\Leftrightarrow d = -20 + 18 - 9c$
$\Leftrightarrow d = -2 -9c$. Er bestaan geen natuurlijke getallen $c$ en $d$ waarvoor deze gelijkheid geldt, dus is er niet zo'n jaartal in $2200-2299$.

We zoeken nu naar een jaartal in $2300-2399$ met de eigenschap.
Dan is $a=2$ en $b=3$ $\Leftrightarrow d= -20 + 27 - 9c \Leftrightarrow d = 7 - 9c$
Er is hier 1 mogelijkheid voor $c$ en $d$ waarbij ze allebei natuurlijk en tussen $0$ en $9$ liggen, nml: $c=0 \Leftrightarrow d=7$ => het dichtste jaartal groter dan $1978$ met de eigenschap is $2307$.
Controle: $23 + 7= 30$ en dat klopt