halve verschil

Opgave - IrMO 1988 dag 1 vraag 3

$E$ is het midden van de boog $BC$ op de omgeschreven cirkel van de driehoek $ABC$ (op de tegenovergestelde kant van $BC$ ten opzichte van $A$). $DE$ is een diameter van die cirkel. Toon aan dat $\angle DEA$ gelijk is aan de helft van het verschil tussen $\angle B$ en $\angle C$.

Oplossing

$E$ is het midden van boog $BC$ (is daar een teken voor?) en dus is $|BE|=|EC|$, en daardoor is $\angle CBE= \angle BCE$ (1)

$\angle DCE= \angle DBE =90°$ (omtrekshoeken op een middellijn) (2)

$\angle AED= \angle ACD= \angle ABD$ (omtrekshoeken op dezelfde boog) (3)

Stel dat $\angle B> \angle C$ (zonder verlies van algemeenheid, of zoiets :wink: ), dan zien we dat:$$ \angle C=\angle DCE- \angle ACD- \angle BCE$$
en $$ \angle B=\angle DBE+ \angle ABD- \angle CBE$$
en dus volgens (1), (2) en (3): $$\angle B- \angle C= 2\cdot \angle AED$$

Wat we moesten bewijzen

Ik vond deze vrij snel (5 minuten ofzo), ik hoop dat alles correct en gestructureerd genoeg is neergeschreven (of getypt :lol: )