invariant

Opgave - IrMO 1988 dag 1 vraag 2

$P$ is een punt op de omgeschreven cirkel van vierkant $ABCD$ tussen $C$ en $D$. Bewijs dat
$$PA^2-PB^2=PB\cdot PD-PA\cdot PC.$$

Oplossing

Dit volgt uit twee keer Ptolemaeus toepassen: in $ABPD$ en in $ABCP$. Dan hebben we immers $\sqrt{2} PA = PB + PD$ en $\sqrt{2} PB = PA + PC$. Als we beide kwadrateren en het verschil nemen vinden we dat $3 PA^2 -3 PB^2 = PD^2 - PC^2 + 2 PB \cdot PD - 2 PA \cdot PD$. Merk op dat $PA^2 + PC^2 = 2 z^2 = PB^2 + PD^2$. Dat kunnen we dus in beide leden schrappen. Nu nog delen door 2 en we hebben het gevraagde.