IMOSL 2011
Dag 1
Vraag 1
We hebben $4$ getallen $a_1,a_2,a_3,a_4$ zodat het aantal koppels $(i,j)$ bestaande uit $2$ verschillende getallen uit $[1,4]$ waarvoor geldt dat $a_i+a_j|a_1+a_2+a_3+a_4$ maximaal is.
Bepaal al de mogelijke viertallen.
Vraag 3 Opgelost!
Vind alle paren $(f,g)$ van functies $ \mathbb R\to \mathbb R$ zodat $$g(f(x+y))=f(x)+(2x+y)g(y)$$ $\forall x,y \in \mathbb R.$
Vraag 4
Vind alle paren $(f,g)$ van functies $ \mathbb N \to \mathbb N$ zodat $$f^{g(n)+1}(n)+g^{f(n)}(n)=f(n+1)-g(n+1)+1$$ $\forall n \in \mathbb N.$
Hierbij is $f^k(n)= \underbrace{f(f(\cdots f(n)))\cdots )}_{k * f}.$
Vraag 5
$f \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ voldoet aan $f(m-n)|f(m)-f(n) \forall m,n \in \mathbb{Z}.$
Bewijs dat als $f(m)\le f(n)$ dat $f(m)|f(n).$
Vraag 5
Bewijs dat $\forall n \in \mathbb{N}_{0}$ de verzameling $ \{2,3\cdots, 3n+1\}$ verdeeld kan worden in $n$ triplets die de zijden van een stompe driehoek zijn.
Vraag 6 Opgelost!
$ f \mathbb{R}\to\mathbb{R} $
$f(x+y)\leq yf(x)+f(f(x)) \forall x,y \in \mathbb{R}$
TB: $f(x)=0$ $\forall x \le 0.$
Vraag 8
$a,b,c>0$ zodat $min(a+b,b+c,a+c)>\sqrt{2}$ en $a^2+b^2+c^2=3.$
Bewijs dat
$$ \frac{ a}{(b+c-a)^2} + \frac{ c}{(b-c+a)^2} + \frac{ b}{(c+a-b)^2} \ge \frac 3 {(abc)^2}.$$
Vraag 9
$n>0$ is een natuurlijk getal .
Op een balans willen we gewichten van $2^0,2^1,\cdots 2^{n-1}$ kilo plaatsen zodat ieder gewicht elk op zijn beurt wordt geplaatst op zo'n wijze dat de rechtste schaal nooit zwaarder weegt dan de linkse.
Hoeveel manieren zijn er hiervoor?
Vraag 10
We hebben een eindig aantal punten in het vlak waarvan er geen $3$ collineair zijn, die we met $S$ noteren.
Een windmolen is een proces dat begint met een rechte $l$ die door $1$ punt $P \in S$ gaat. De lijn draait et de klok meer om het draaipunt $P$ to er voor't eerst een ander pnt van $S$ op deze lijn ligt, dat nieuwe punt wordt het nieuwe draaipunt. We zeggen dat $Q$ een klap van de molen krijgt.
De lijn draait nu met de klok mee om $Q$ en de windmolen draait zo oneindig door.
Laat zien dat we punt $P$ van $S$ en een lijn $l$ door $P$ kunnen kiezen zodat er een windmolen ontstaat waarbij elk punt van $S$ $\infty$ veel klappen van de molen krijgt.
Vraag 14
We hebben een $2011*2011$-tafel die we bedekken met een eindig aantal $52*52$ doeken .
In ieder van de $2011^2$ vakjes schrijven we het aantal doeken die weer op plaatsten.
Wat is het grootste aantal gelijke cijfers $\not=0$ dat we kunnen hebben?
Vraag 15
$\triangle ABC$ is een scherphoekige driehoek en $\omega$ is een cirkel met middelpunt $L \in [BC]$ die raakt aan $[AB],[AC]$ in $B',C'.$
Het omcentrum $O$ van $\triangle ABC$ ligt op de kleine boog $B'C'$ van $\omega.$
Bewijs dat de omcirkel $\odot O$ en $\omega$ snijden in $2$ verschillende punten.
Vraag 19 Opgelost!
Zij $ABC$ een driehoek met incentrum $I$ en omgeschreven cirkel $\omega$. Zij $D,E$ de tweede snijpunten van $\omega$ en $AI,BI$, respectievelijk. $DE$ snijdt $AC,BC$ in $F,G$ respectievelijk. Zij $P$ het snijpunt van de rechte door $F$, parallel met $AD$ en de rechte door $G$, parallel met $BE$. Veronderstel dat de raaklijnen aan $\omega$ in $A$ en $B$ snijden in $K$. Bewijs dat de drie rechten $AE, BD$ en $KP$ concurrent zijn of allen parallel.
Vraag 20 Opgelost!
Zij $\triangle ABC$ met $AB = AC$, en $D$ het midden van $AC$. De bissectrice van $\angle BAC$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle DBC$ in het punt $E$ dat binnen $\triangle ABC$ ligt. De lijn $BD$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle AEB$ in $B,F$. De lijnen $AF$ en $BE$ snijden in $I$ en de lijnen $CI$ en $BD$ snijden in $K$. Bewijs dat $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel is in $\triangle KAB$.
Vraag 22
$\triangle ABC$ is een scherphoekige driehoek met omgeschreven cirkel $\omega$ waar $t$ een raaklijn aan is.
$t_a,t_b,t_c$ zijn de lijnen bekomen door $t$ te spiegelen in $BC,AC,AB$ resp.
TB: Bewijs dat de omgeschreven cirkel van de driehoek gevormd door de snijpunten van $t_a,t_b,t_c$ raakt aan $\omega.$
Vraag 23
Voor elk geheel getal $d > 0$, laat $f(d)$ het kleinste natuurlijk getal zijn dat exact $d$ positieve delers heeft (dus bijvoorbeeld $f(1)=1$, $f(5)=16$, and $f(6)=12$). Bewijs dat voor elke gehele $k \geq 0$ dat $f\left(2^k\right) \mid f\left(2^{k+1}\right)$.
Vraag 24
Zij $P(x)= (x+d_1)(x+d_2) \cdots (x+ d_9)$ een veelterm waarbij de $d_i$ $9$ verschillende gehele getallen zijn.
Bewijs dat er een $N \in \mathbb{N}$ bestaat zodat $\forall x \ge N$ geldt dat $P(x)$ deelbaar is door een priemgetal groter dan $20$.
