G6
Opgave - IMOSL 2011 dag 1 vraag 20
Zij $\triangle ABC$ met $AB = AC$, en $D$ het midden van $AC$. De bissectrice van $\angle BAC$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle DBC$ in het punt $E$ dat binnen $\triangle ABC$ ligt. De lijn $BD$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle AEB$ in $B,F$. De lijnen $AF$ en $BE$ snijden in $I$ en de lijnen $CI$ en $BD$ snijden in $K$. Bewijs dat $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel is in $\triangle KAB$.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $\Gamma=\odot CDB$, $\gamma=\odot DAB$, $\omega=\odot AFC$, $\Omega= \odot ABE$ en laat $\omega,\Gamma$ snijden in $C,L$ en laat $\gamma, \omega$ snijden in $A,M$. Zij tenslotte $H$ het midden van $BC$ en $G$ dat van $AB$. $O$ is het centrum van $\Omega$.
wegens symmetrie is het duidelijk dat $G\in \Gamma$ en $DE=EG$. Daarom is $\angle EBD=\angle GBE=\angle ABE$. Omdat bovendien $DAE=EAB$ geldt dat $E$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel is in $\triangle ABD$. Het centrum van $\Omega$, $O$ ligt dus op $\gamma$ (bekend lemma ivm incentrum), en $DAOB$ is dus cyclisch.
We zien dat $I$ het machtspunt van $\omega, \Gamma, \Omega$ is, dus $C,I,L$ zijn collineair. $K$ is het machtspunt van $\omega, \gamma, \Gamma$, dus $A,K,M$ zijn collineair.
We zien dat $\angle DAF=\angle DAE+\angle EAF=\angle EAB-\angle EAF+2\angle EAF=\angle BAF+2\angle EBF=\angle BAF+\angle ABF=\angle AFD$. Bijgevolg is $AD=DF$ en dus is $D$ het middelpunt van $\omega$. Hieruit volgt $AF\perp FC$ en omdat bovendien $DO\perp AF$ (machtslijn loodrecht op verbindingslijn middelpunten), moet $OD//FC$.
Merk op dat $\angle CFM=\angle DAM=\angle DOM$ en tezamen met $OD//FC$ volgt $M,F,O$ collineair.
Het gevraagde volgt nu uit $\angle IAB=1/2\angle FOB=1/2\angle MDB=1/2\angle MDF=\angle MAF=\angle KAI$, want we weten al dat $\angle ABI=\angle IBK$.
QED