functievgl. 1 van IMO 2011

Opgave - IMOSL 2011 dag 1 vraag 6

$ f \mathbb{R}\to\mathbb{R} $
$f(x+y)\leq yf(x)+f(f(x)) \forall x,y \in \mathbb{R}$
TB: $f(x)=0$ $\forall x \le 0.$

Oplossing

$y=0$ geeft $f(x)\le f(f(x))$.
Vul eerst $(x,y)=(2f(a),-f(a))$ in en daarna $(x,y)=(a,f(2f(a))-a)$ in, tel deze ongelijkheden op en je bekomt $af(a)\le 0$. Dit toont aan dat $f(a)\ge 0$ als $a < 0$. Hierdoor geldt voor alle $a < 0$ dat $0\le f(a)^2\le f(a)f(f(a))\le 0$. Er is gelijkheid, dus $f(a)=0$.
Als $x < 0$ in $f(x)\le f(f(x))$, zien we $0\le f(0)$. Net als hierboven vinden we dan als we veronderstellen dat $f(0) \ge 0$ dat $f(0)^2\le f(0)f(f(0))\le 0$, en dus $f(0)=0$
QED.