G5
Opgave - IMOSL 2011 dag 1 vraag 19
Zij $ABC$ een driehoek met incentrum $I$ en omgeschreven cirkel $\omega$. Zij $D,E$ de tweede snijpunten van $\omega$ en $AI,BI$, respectievelijk. $DE$ snijdt $AC,BC$ in $F,G$ respectievelijk. Zij $P$ het snijpunt van de rechte door $F$, parallel met $AD$ en de rechte door $G$, parallel met $BE$. Veronderstel dat de raaklijnen aan $\omega$ in $A$ en $B$ snijden in $K$. Bewijs dat de drie rechten $AE, BD$ en $KP$ concurrent zijn of allen parallel.
- login om te reageren
Oplossing
Een pareltje!
Zij $\Gamma_1, \Gamma_2$ de omgeschreven cirkel van $\triangle EAI$, $\triangle DBI$ respectievelijk. Zij $l$ de rechte door $I$, evenwijdig met $AB$. De rechte $l$ snijdt $KA,KB$ in $X,Y$ respectievelijk.
Omdat $\angle FAI=\angle IAB=\angle DEB$ (want $AI$ is bissectrice $\angle CAB$ en koordenvijfhoek $ABCDE$) moet $F\in \Gamma_1$ en analoog $G\in \Gamma_2$. We hebben ook $\angle IXA=\angle BAK=\angle BCA =\angle IEA$ (voor de tweede gelijkheid gebruikten we raakomtrekshoek $\angle BAK$) en dus $X\in \Gamma_1$. Analoog $Y\in \Gamma_2$.
Tenslotte is $\angle FXI=\angle FAI =\angle IAB$ en dus $AD//FX$(want $AB//XI$), dit betekent $P\in FX$. Analoog $P\in GY$.
Zij $m$ de machtslijn van $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$.
$XABY$ is een gelijkbenig trapezium, en dus een koordenvierhoek. Dit betekent $KX\cdot KA=KY \cdot KB$ en dus $K\in m$ (2x wegens de machtsstelling).
Er geldt $\pi-\angle GFX=\angle GFP=\angle GDI=\angle GYI=\angle GYX$ en dus is $YGFX$ een koordenvierhoek, waaruit $PX\cdot PF=PY\cdot PG$ en dus $P\in m$.
We zijn klaar: we toonden aan dat $KP$ de machtslijn is van $\Gamma_1,\Gamma_2$ is en het is bovendien duidelijk dat $AE, BD$ de machtlijnen zijn van $\omega, \Gamma_1$ en $\omega,\Gamma_2$ respectievelijk. Het is een bekend feit dat de drie machtlijnen van 3 cirkels concurrent zijn (mogelijks op oneindig, dan zijn ze parallel), hun snijpunt noemt het machtpunt.