IMOSL 2007

Dag 1

Vraag 1

Gegeven zijn reele getallen $a_1,a_2,\cdots,a_n$. Definieer
$d_i=max\{a_j|1\le j \le i\}- min \{ a_j| i\le j \le n\}$ voor elke $i$ tussen $1$ en $n$ en laat $d=max\{d_i|1\le i \le n\}.$

(a) Bewijs dat voor alle getallen $x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n \in \mathbb{R}$ geldt dat
$max \{ |x_i-a_i| | 1 \le i \le n \} \ge \frac{d}{2}$ $[1]$

(b) Bewijs dat er zo'n rij $(x_n)_n$ was zodat er gelijkheid geldde in $[1]$

Vraag 7

$n \in \mathbb{N}$ en we beschouwen de verzameling $$S =\left\{ (x,y,z)\mid x,y,z\in\{ 0, 1,\ldots, n\}, x+y+z > 0\right\}.$$
Bepaal het minimum aantal vlakken die alle punten van $S$ bevat, maar niet het punt $(0,0,0)$

Vraag 8

We hebben een rij $a_1,\cdots,a_{n(n+1)}$ die enkel bestaat uit de waarden $0$ en $1.$
Tevens geldt er voor alle $i \in [0,n^2-n] $ dat
$a_{i+1}+\cdots+a_{i+n} < a_{i+n+1}+
\cdots + a_{i+2n}.$
Hoeveel zo'n rijen bestaan er?

Vraag 9

We verdelen een vierkant in enkele rechthoeken die heel het vierkant bedekken zonder overlapping.
Bewijs dat als iedere lijn $//$ met een zijde van het vierkant het binnenste van een rechthoek snijdt, niet alle rechthoeken aan de omtrek van het vierkant grenzen.

Vraag 10

Vind alle waarden $n$ zodat we de waarden uit $S=\{1,2,\cdots,n\}$ allen een kleur kunnen toekennen (gekozen uit rood en blauw) zodat er exact $2007$ geordende triplets $(x,y,z)$ bestaan waarvoor geldt dat $x,y,z$ hetzelfde kleur hebben en $n|x+y+z.$

Vraag 11

We hebben een eindige verzameling van reele getallen $A_0=\{a_1,\cdots,a_n\}.$
$\forall k \ge 0$, veranderen we de verzameling $A_k=\{x_1,\cdots,x_n\}$ in een nieuwe $A_{k+1}$ op de volgende manier:
$(i)$ We kiezen een partitie van $i\capJ=A_k$ waarbij $I,J$ disjunct zijn.
Op die wijze dat $|\sum_{i\in I} x_i - \sum_{j\in J} x_j|$ minimaal is.
$(ii)$ $A_{k+1}=\{y_1,\cdots,y_n\}$ waar $y_i=x_i +1$ als $i \in I$ en anders $y_j=x_j-1.$
Bewijs dat er een $k$ is zodat $A_k$ een element $x$ bevat waarvan geldt dat $|x|\ge n/2.$

Vraag 16 Opgelost!

In $\triangle ABC$ snijdt de bissectrice van $\angle BCA$ de omgeschreven cirkel in $R$ en de middelloodlijn van $BC,AC$ resp. in $P,Q.$
De middens van $[BC],[AC]$ noemen we $K$ en $L$ resp.
Bewijs dat $[RPK]=[RQL].$

Vraag 17

Een gelijkzijdige driehoek $ABC$ met tophoek $A$ wordt beschouwd.
$M$ is het midden van $[CB]$ en $X$ is een variabel punt $X$ op de korte boog $AM$ van de omgeschreven cirkel van $ABM.$
$T$ is het punt zodat $|TX=|BX|$ en $\angle TMX=90^\circ.$
Bewijs dat $\angle MTB - \angle CTM$ constant blijft onafhankelijk van de plaats van $X.$

Vraag 19

Gegeven zijn vijf punten $A, B, C, D $en $E$ zodanig dat $ABCD$ een parallellogram is en $BCED $ een koordenvierhoek. Zij $l$ een lijn (een rechte) door $A,$ die het inwendige van het lijnstuk $DC$ snijdt in $F $ en die de lijn $BC$ snijdt in $G.$ Veronderstel dat $|EF| = |EG| = |EC|. $

Bewijs dat $l$ de bissectrice is van hoek $DAB.$

Vraag 21

$ABCD$ is een convexe veelhoek en $A_1,B_1,C_1,D_1$ zijn punten op resp $[AB],[BC],[CD],[DA].$
Men zoekt de $2$ kleinste opp. uit $[AA_1D_1],[BB_1A_1],[CC_1B_1],[DD_1C_1]$ en berekent de som van de oppervlakten ervan en noemt dit $S.$
Vind de grootst mogelijke waarde zodat $k[A_1B_1C_1D_1] \ge S$ altijd geldt voor iedere vierhoek.

Vraag 23

Een punt $P$ ligt willekeurig op $ [AB]$ van de convexe vierhoek $ABCD.$
$\omega $ is de incirkel van $\triangle CPD$ met $I$ als incenter.
$\omega$ is rakend aan de incirkels van $\triangle APD,BPC$ in $K,L$ resp.
$E= AC \cap BD, F=AK \cap BL.$
TB:$E,I,F$ zijn collineair.

Vraag 24

Vind alle koppels natuurlijke getallen $(k,n)$ zodat $7^k-3^n|k^4+n^2.$

Vraag 25

$b,n \in \mathbb{N}$ en $b,n>1$ en we voor iedere natuurlijke $k>1$ geldt er dat
er een geheel getal $a_k$ bestaat zodat $k|b-a_k^n.$
Bewijs dat $b$ dan een perfecte $n-$ de macht is van een geheel getal.

Vraag 26

$X$ is een verzameling van $10000$ natuurlijke getallen die allen niet deelbaar zijn door $47.$
Bewijs dat er een $Y\subset X$ met $|Y|=2007$ zodat $47\not|a+c+e-b-d$ $\forall a,b,c,d,e \in Y$ bestaat.

Vraag 27

Bewijs dat $\forall k\ge2$,
$2^{3k}|{2^{k+1}\choose 2^k}-{2^k\choose2^{k-1}}$ maar $2^{3k+1}$ deelt die uitdrukking niet.

Vraag 28

Vind alle surjectieve functies $f \colon \mathbb N_{>0} \to \mathbb N_{>0}$ zodat voor alle $m,n \in \mathbb{N_{>0}}$ en elk priemgetal $p$ geldt dat $p|f(m+n)$ a.e.s.a. $p|f(m)+f(n)$.

Vraag 29

$k \in \mathbb N$
TB: $(4k^2-1)^2$ hebben een deler van de vorm $8kn-1$ aesa $k$ even is.