het element wordt te groot

We hebben een eindige verzameling van reele getallen $A_0=\{a_1,\cdots,a_n\}.$
$\forall k \ge 0$, veranderen we de verzameling $A_k=\{x_1,\cdots,x_n\}$ in een nieuwe $A_{k+1}$ op de volgende manier:
$(i)$ We kiezen een partitie van $i\capJ=A_k$ waarbij $I,J$ disjunct zijn.
Op die wijze dat $|\sum_{i\in I} x_i - \sum_{j\in J} x_j|$ minimaal is.
$(ii)$ $A_{k+1}=\{y_1,\cdots,y_n\}$ waar $y_i=x_i +1$ als $i \in I$ en anders $y_j=x_j-1.$
Bewijs dat er een $k$ is zodat $A_k$ een element $x$ bevat waarvan geldt dat $|x|\ge n/2.$