APMC 1983
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
De positieve reële getallen $a,b,c,d$ voldoen aan $a^5+b^5\leq1$ en $c^5+d^5\leq1$. Toon aan dat
$$a^2c^3+b^2d^3\leq1.$$
Vraag 2 Opgelost!
Vind alle natuurlijke getallen $p,q,n$ met $p$ en $q$ priem, zodanig dat $p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)$.
Vraag 3
Een eindig aantal schijven (dus cirkels met hun inwendige punten meegerekend) bedekken een oppervlakte $A$, met al dan niet enige overlapping van de schijven. Toon aan dat we een deelverzameling van niet-overlappende schijven kunnen vinden die een oppervlakte van op zijn minst $A/9$ bedekken.
Dag 2
Vraag 1
We verdelen $\mathbb N$ in twee disjuncte verzamelingen $A$ en $B$. Toon aan dat we voor eender welke gegeven $n$, we twee natuurlijke getallen $a>b>n$ kunnen vinden zodat $a,b,a+b$ alledrie in $A$ of in $B$ zitten.
Vraag 2
Gegeven zijn de reële getallen $a_4>a_3>a_2>a_1>0$. Voor welke reële $k$ hebben de vergelijkingen
$$x_1+x_2+x_3+x_4=1$$
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4=k$$
$$a_1^2x_1+a_2^2x_2+a_3^2x_3+a_4^2x_4=k^2$$
een oplossing in positieve reële getallen $x_i$?
Vraag 3
Er zijn 6 rechten in het vlak, zodanig dat we uit eender welke drie er twee kunnen vinden die loodrecht op elkaar staan. Toon aan dat we de rechten in twee groepen van drie kunnen groeperen zodat de rechten in iedere groep allemaal loodrecht op elkaar staan.
Dag 3
Vraag 1
Zij $C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6$ zes lijnstukken in het vlak, waarvoor geldt dat ieder paar maximum 1 gemeenschappelijk heeft. Noem $S$ de unie van de zes lijnstukken. Er zijn vier verschillende punten $P_1,P_2,P_3,P_4$ in het vlak zodat eender welke rechte door op zijn minst één van de punten $P_i$ in precies twee punten snijdt. Is $S$ noodzakelijk een zeshoek?
Vraag 2
(i) Toon aan dat
$$(2^{n+1}-1)(2^n-1)^2(2^{n-1}-1)^4(2^{n-2}-1)^8 \cdots(2^2-1)^{2^{n-1}}|(2^{n+1}-1)!.$$
(ii)Gegeven de rij $\displaystyle{a_{n+1}=\frac{(4n-6)a_n}n},a_1=1$. Toon aan dat alle termen van de rij gehele getallen zijn.
Vraag 3
Een regelmatige $p-$hoek (met $p$ een priemgetal) heeft $1\times k$ rechthoeken op de buitenkant van iedere zijde. Iedere rechthoek wordt verdeeld in $k$ eenheidsvierkanten, zodat de figuur uiteindelijk in $pk+1$ gebieden verdeeld is. Op hoeveel manieren kan de figuur gekleurd worden met drie kleuren zodat de aangrenzende gebieden verschillende kleuren hebben en er geen symmetrie-as is?
