ongelijkheid

Opgave - APMC 1983 dag 1 vraag 1

De positieve reële getallen $a,b,c,d$ voldoen aan $a^5+b^5\leq1$ en $c^5+d^5\leq1$. Toon aan dat
$$a^2c^3+b^2d^3\leq1.$$

Oplossing

Wel, we hebben $\frac{a^5+a^5+c^5+c^5+c^5}5\ge a^2c^3$ en $\frac{b^5+b^5+d^5+d^5+d^5}{5}\ge b^2d^3$ uit AM-GM, zodat $1\ge\frac{2(a^2+b^2)+3(c^2+d^2)}{5}\ge a^2c^3+b^2d^3$.