vind alle natuurlijke getallen

Opgave - APMC 1983 dag 1 vraag 2

Vind alle natuurlijke getallen $p,q,n$ met $p$ en $q$ priem, zodanig dat $p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)$.

Oplossing

We beginnen met 'n lemmaatje of twee.

    Lemma. $n < p+q$.
    Bewijs. Als $n\geq p+q$ zou gelden, dan zou $p(p+1)+q(q+1) = n(n+1) \geq (p+q)(p+q+1) = (p+q)^2+(p+q)$ gelden. Bijgevolg zou $0\geq 2pq$, wat natuurlijk onmogelijk is. Contradictie, aka QED.
    Lemma. $p,q < n$.
    Bewijs. Als $n \leq p$, dan zou $p(p+1)+q(q+1) = n(n+1) \leq p(p+1)$, dus $q(q+1) \leq 0$, wat onmogelijk is. En we zijn weer klaar omwille van symmetrische overwegingen.

Herschrijf nu de vergelijking tot $p(p+1) = (n-q)(n+q+1)$. Aangezien $0

Neem nu zonder verlies van algemeenheid $p\geq q$. Daar $n+q+1 = kp$ en $n+p+1=lq$ voor zekere $k,l\in\mathbb{Z}$, hebben we nu dat $kp = n+q+1 < (p+q)+q+1 \leq (p+p)+p+1 = 3p+1 < 4p$. Bijgevolg is $k=0,1,2,3$. Als $k=0$, dan moet $0 = n+q+1 \geq 0+2+1 = 3$. Nop. Als $k=1$, dan moet $n+q+1=p Als $k=2$, dan moet $n+q+1 = 2p$ en dus $p(p+1) = (n-q)(n+q+1) = 2p(n-q) = 2p(2p-q-1-q) = 2p(2p-2q-1)$, dus $p+1 = 4p-4q-2$, dus $4q+3 = 3p$. Modulo 3 levert op dat $q$ een drievoud is en dus moet $q=3$, zodat $2p=n+q+1=n+4$ en $p(p+1)+12=n(n+1)=(2p-4)(2p-3) = 4p^2-14p+12$, dus $p=5$ en $n=6$.
Als $k=3$, dan moet $n+q+1 = 3p$ en dus $p(p+1) = (n-q)(n+q+1) = 3p(n-q) = 3p(3p-q-1-q) = 3p(3p-2q-1)$, dus $p+1 = 9p-6q-3$, dus $6q+4=8p$. Modulo 4 beschouwen levert op dat $q$ even is en dus moet $q=2$, zodat $3p=n+q+1=n+3$ en $p(p+1)+6=n(n+1)=(3p-3)(3p-2) = 9p^2-15p+6$, dus $p=2$ en $n=3$.

We hebben dus de oplossingen $(p,q,n) = (5,3,6),(3,5,6),(2,2,3)$.[/]

[/]