IMOSL 2006

Dag 1

Vraag 1

$ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots$ is een reële rij zodat $$ a_{n + 1} = \lfloor a_{n}\rfloor\cdot \left\{a_{n}\right\}$$
Bewijs dat er een $j$ bestaat zodat voor elke $i\geq j$ geldt dat $a_{i+2}=a_i$.

Vraag 13

Een convex veelvlak zonder evenwijdige ribben en ook geen ribben die met vlakken evenwijdig zijn waartoe hij niet zelf hoort, wordt beschouwd.
Een paar punten worden "antipodaal " genoemd als er $2$ evenwijdige vlakken bestaan door deze punten en zodat het veelvlak tussen deze vlakken zit.
$A$ is het aantal antipodale hoekpunten
en $B$ het aantal tussen de middens van de ribben.
Bepaal $A-B$ in functie van het aantal ribben,vlakken en hoekpunten van het veelvlak.

Vraag 15

Zij $ABCD$ een trapezium met evenwijdige zijden $AB > CD$. Punten $K$ en $L$ liggen op lijnstukken $AB$ en $CD$, respectievelijk, zodat $AK/KB = DL/LC$. Verderonderstel dat er punten $P$ en $Q$ op het lijnstuk $KL$ liggen waarvoor
$\angle APB = \angle BCD$ and $\angle CQD = \angle ABC$.
bewijs dat $P, Q, B$ en $C$ op een cirkel liggen.

Vraag 16

$ABCDE$ is een vijfhoek waarvoor gledt dat $\angle BAC= \angle CAD = \angle CAD = \angle DAE$ en $\angle ABC= \angle ACD =\angle ADE.$
De diagonalen $BD$ en $CE$ snijden in $P.$
Bewijs dat $AP$ de zijde $CD$ middendoor snijdt.

Vraag 17

In een driehoek $ABC $ waarvoor $90^\circ>\angle A>\angle C$ geldt,
construeren we het nieuwe punt $D$ op $[AC]$ zodat $|AB|=|BD|.$
De ingeschreven cirkel van $\triangle{ABC}$ raakt $[AB],[AC]$ in resp. $K,L$
en de ingeschreven cirkel van $\triangle BCD$ noemen we $J.$
Bewijs dat $d(KL,J)=d(KL,A).$

Vraag 18

In $\triangle ABC$ is $I_b$ het centrum van de aangeschreven cirkel aan $BC.$
Die cirkel raakt $BC,AC,AB$ inr resp. $A_1,B_1,C_1.$
$A_1B_1\perp AB$ en snijden in $D.$
$E$ is het voetpunt van $C_1$ op $DJ.$Bepaal de hoeken $\angle BEA_1, \angle B_1EA$

Vraag 19

Cirkels $\omega_1,\omega_2$ hebben middelpunten $O_1,O_2$ en raken uitwendig in $D.$
Ze raken beide aan $\omega$ in resp. $E,F.$
$t$ is de raaklijn aan $\omega_1,\omega_2$ in $D.$
$AB$ is de diameter van $\omega$ die $\perp t$ is op die wijze dat $A,O_1$ en $E$ aan dezelfde kant van $t$ liggen.
Bewijs dat de lijnen $t,AO_1,BO_2,EF$ concurrent zijn.

Vraag 22

$A_1,B_1,C_1$ zijn punten die gekozen zijn op de zijdne $BC,AC;AB$ van een driehoek $ABC.$
De omgeschreven cirkels van $AB_1C1,A_1BC_1,A_1B_1C$ snijden de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ in $A_2,B_2,C_2$ resp.
Punten $A_3,B_3,C_3$ zijn de spiegelbeelden van $A_1,B_1,C_1$ tov de middens van $BC,AC,AB$ resp.
Bewijs dat $\triangle A_2B_2C_2 \sim \triangle A_3B_3C_3.$

Vraag 23

Beschouw een convexe veelhoek $P$. Aan elke zijde $b$ van $P$ associëren we de oppervlakte van de grootste driehoek met $b$ als zijde, die volledig binnen $P$ ligt. Bewijs dat de som van deze oppervlakten minstens dubbel zo groot is als de oppervlakte van $P$ .

Vraag 27

Zij $P(x)$ een veelterm van graad $n>1$ met gehele coëfficiënten en $k$ is strikt natuurlijk. We beschouwen de veelterm $Q(x)=P(P( \cdots P(x)))\cdots)$ waarin $P$ k keer voorkwam. Bewijs dat er maximaal $n$ gehele getallen bestaan waarvoor geldt dat $Q(t)=t.$