APMC 2005

Dag 1

Vraag 1

Voor een convexe $n-$hoek $P_n$ zeggen we dat een convexe vierhoek $Q$ een diagonaal-vierhoek is van $P_n$ als zijn hoekpunten hoekpunten zijn van $P_n$ en zijn zijden diagonalen van $P_n$. Zij $d_n$ het aantal diagonaal-vierhoeken van een convexe $n-$hoek, bepaal de waarde van $d_n$ voor alle $n\geq8$.

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal alle veeltermen met gehele coëfficiënten zodat voor alle $x\in\mathbb R$ geldt dat
$$P(P(P(P(P(x)))))=x^{28}\cdot P(P(x)).$$

Vraag 3

Zij $a_0,a_1,\ldots,a_n$ reële getallen die voldoen aan volgende twee eigenschappen:
(i) $0=a_0\leq a_1\leq a_2\leq\ldots\leq a_n$,
(ii) $\forall\ 0\leq i Bewijs dat
$$\left(\sum_{i=0}^na_i\right)^2\geq\sum_{i=0}^na_i^3.$$

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal het kleinste natuurlijke getal $a\geq2$ met de volgende eigenschap: er bestaat een priemgetal $p$ en een natuurlijk getal $b\geq2$ zodat
$$\frac{a^p-a}p=b^2.$$

Vraag 2

Gegeven is een convexe vierhoek $ABCD$ met $AB=CD$. Aan de buitenkant van de vierhoek tekenen we de driehoeken $ABE$ en $CDF$ zodat $\angle ABE=\angle DCF$ en $\angle BAE=\angle FDC$. Bewijs dat de middens van $AD,BC$ en $EF$ collineair zijn.

Vraag 3

Bepaal alle monotone functies $f\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb Z$ geldt dat
$$f(x^{2005}+y^{2005})=(f(x))^{2005}+(f(y))^{2005}.$$

Dag 3

Vraag 1

Voor ieder natuurlijk getal $n\geq2$, los het volgende stelsel van vergelijkingen op in gehele getallen $x_1,x_2,\ldots,x_n$:
$$\begin{cases}\displaystyle{(n^2-n)x_1+x_2\cdot x_3\cdot\ldots\cdot x_n\cdot\left(\sum_{j=1}^nx_j^2\right)=n^3-n^2}\\ \displaystyle{(n^2-n)x_2+x_3\cdot\ldots\cdot x_n\cdot x_1\cdot\left(\sum_{j=1}^nx_j^2\right)=n^3-n^2}\\ \ldots \\ \displaystyle{(n^2-n)x_i+x_{i+1}\cdot\ldots\cdot x_n\cdot x_1\cdot\ldots\cdot x_{i-1}\cdot\left(\sum_{j=1}^nx_j^2\right)=n^3-n^2}\\ \ldots \\ \displaystyle{(n^2-n)x_n+x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_{n-1}\cdot\left(\sum_{j=1}^nx_j^2\right)=n^3-n^2}. \end{cases}$$

Vraag 2

We definiëren de verzameling $R_{mn}=\{(x,y)|\ 0\leq x\leq m,0\leq y\leq n, x,y\in\mathbb Z\}$. We beschouwen de functies $fR_{mn}\rightarrow\{-1,0,1\}$ met de volgende eigenschap: voor ieder viertal punten $A_i(x_i,y_i)\in R_{mn}\ (i=1,2,3,4)$ die de hoekpunten zijn van een vierkant met zijde $0 $$f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)+f(x_3,y_3)+f(x_4,y_4)=0.$$
Voor ieder paar $(m,n)$ van natuurlijke getallen, bepaal $F(m,n)$, het aantal dergelijke functies op $R_{mn}$.

Vraag 3

We beschouwen de vergelijking $x^3+y^3+z^3=2$.
(i) Bewijs dat deze vergelijking oneindig veel gehele getallen $x,y,z$ als oplossing heeft.
(ii) Bepaal alle gehele oplossingen $x,y,z$ met $|x|,|y|,|z|\leq28$.

Vraag 4

Bepaal alle koppels $(k,n)$ van natuurlijke getallen met de volgende eigenschap: voor alle positieve reële getallen $x,y$ geldt de volgende ongelijkheid:
$$1+\frac{y^n}{x^k}\geq\frac{(1+y)^n}{(1+x)^k}.$$