kleinste natuurlijk getal

Stel eerst dat $a$ deelbaar is door $p$. Schrijf $a = np$, dan krijgen we dat $n\left((np)^{p - 1} - 1\right) =b^2$ dus $n$ en $(np)^{p - 1} - 1$ zijn allebei kwadraten. Dan moet $p = 2$, want als $p \geq 3$ is $p - 1$ even en dan kan $(np)^{p - 1} - 1$ geen kwadraat zijn. Dus moeten $n$ en $2n - 1$ kwadraten zijn. De kleinste $n$ die werkt is dan $n = 25$ en de kleinste $a$ is $a = 50$.

Stel nu dat $a$ niet deelbaar is door $p$. Omdat $a\left(a^{p - 1} - 1\right) = pb^2$ moet $a$ een volkomen kwadraat zijn, en $a^{p - 1} - 1$ is het $p$-voud van een volkomen kwadraat. Er is geen oplossing voor $a = 4$. Inderdaad, $\left(2^{p - 1} - 1\right)\left(2^{p - 1} + 1\right)$ moet het $p$-voud van een volkomen kwadraat zijn, en de tweede factor moet een kwadraat zijn. Maar dat kan niet voor $p \geq 3$ want dan is $p - 1$ even. Bijgevolg moet $p = 2$, maar $\frac{4^2 - 4}{2} = 6$ is geen kwadraat. De volgende $a$ is in aanmerking komt is $a = 9$. Met $p = 2$ geeft die waarde van $a$ wel een oplossing, namelijk $b = 6$.

Het eerste geval gaf $a = 50$ als minimum, het tweede geval gaf $a = 9$, dus de kleinste waarde die voldoet is $a = 9$.